چکیده: درابن پایان نامه،ابتدا زیر رده ای از رده مدول های تصویری گرنشتاین را معرفی می کنیم. این زیر رده برای اعداد صحیح n>1 و m>0،تصویری گرنشتاین (n,m) –قوی (به طور خلاصه ُsg-(n,m)- تصویری)نامیده می شوند. بعد از تعریف این مدول ها، ما روابط بین آن هارا بررسی می کنیم. در ادامه سی زی جی های این نوع مدول هارا مورد توجه قرار خواهیم داد.مهمترین مطلبی که در این قسمت در مورد آن بحث می شود این است که، اگر mیک مدول تصویری گرنشتاین (n,m) –قوی برای یک عدد صحیح مثبت k، k<m=gpd(m)، آنگاه برای هر k>i>1،-iامین سی زی جی از m یک مدول تصویری گرنشتاین (i-n,m) –قوی است و برای i>k،-iامین سی زی جی از m یک مدول تصویری گرنشتاین (n,0) –قوی است. سپس به بررسی عکس این قضیه دز حالتی که n=1 می پردازیم، در واقع ثابت می کنیم که برای دو عدد صحیح d>0 و m>0،اگر-dامین سی زی جی از m یک مدول تصویری گرنشتاین (1,m) –قوی باشد، آنگاه برای یک عدد صحیح مثبت k، k<d+m=gpd(m). همچنین m یک مدول تصویری گرنشتاین (1,k)-قوی است.به عنوان نتایجی از این مباحث ابتدا ثابت می کنیم مدول m، از بعد تصویری گرنشتاین حداکثر m است اگر و تنها اگرجمع مستقیم m وg برای یک مدول تصویری مانند g، یک مدول تصویری گرنشتاین (,m1) –قوی باشد و سپس بررسی خواهیم کرد که روی حلقه های از بعد یکدست چپ متناهی، یک مدول از بعد تصویری گرنشتاین متناهی، بعد تصویری متناهی دارد اگر وتنها اگر از بعد یکدست متناهی باشد.

در جبر هومولوزی به دست آوردن تعمیم هایی از رده مدولهای تصویری نقشی اساسی ایفا می کند. در این زمینه مطالعاتی انجام شده است که یکی از نتایج حاصل از این مطالعات معرفی رده ای جدید از مدولها به نام مدولهای تصویری گرنشتاین قوی است. این رده از مدولها بین مدولهای تصویری و تصویری گرنشتاین قرار دارد. در این پژوهش ما به دنبال تعمیم سازی رده مدول های گرنشتاین قوی هستیم تا ویژگیهای جدیدی از آنها را ارائه دهیم. بنابراین ابتدا مدولهای تصویری گرنشتاین n-قوی را معرفی می کنیم. برخی از ویژگیهای هومولوژیکی این رده از مدولها را خواهیم آورد. معرفی مدولهای یکدست گرنشتاین n-قوی یکی دیگر از اهداف ما در این پژوهش است.

‏در این پایان نامه به معرفی و شناسایی قاب های هارمونیک می پردازیم. در همین راستا گروه تقارن یک قاب متناهی را معرفی کرده‏، نشان می دهیم قاب های متمم و متشابه گروه تقارن یکسانی دارند. بعلاوه گروه تقارن ترکیب قاب ها نیز بررسی می شود. هم چنین g- قاب ها را تعریف کرده خاطر نشان می کنیم ‏که g- قاب های کیپ براساس ماتریس گرامی خود قابل شناسایی هستند. سپس بعضی g- قاب های کیپ را با کمک fg- مدول ها مشخص می کنیم. در پایان شرایط هم ارزی قاب های هارمونیک و وجود قاب های هارمونیک هم زاویه بر اساس مجموعه های تفاضل نیز بررسی می شود.

فرض کنید r یک حلقه جابه جایی و یکدار باشد. r- مدول یکانی m را یک مدول هم ضربی گوییم هرگاه برای هر زیرمدول n از m، یک ایده آل a از r وجود داشته باشد به طوری که n. ={m?m : am=0} اگر m یک r- مدول هم ضربی باتولید متناهی همراه با صفر ساز b در r باشد آن گاه حلقه ( r)/b نیم موضعی و m با بعد متناهی خارج قسمتی است. علاوه براین مدول های هم ضربی در شرایط *5ab صدق می کنند. یک مدول هم ضربی نوتری، آرتینی است. مدول باتولید متناهی و آرتینی m یک مدول هم ضربی است اگر و فقط اگر پایه m جمع مستقیم (متناهی) از زوج مرتب های غیر ایزومورفیسم زیرمدول های ساده باشد.

هدف از این پایان نامه، مطالعه برخی از ویژگی های مدول های ضربی و هموار است. ابتدا بعضی از ویژگی های مدول های ضربی که حلقه های حسابی را مشخص می سازند را مطالعه و بررسی می کنیم. سپس درباره خواص مدول های ضربی و مدول های هموار و مشخص ساختن f- مدول ها و fgp- مدول ها، بحث می کنیم.

دراین پایان نامه گروه تقارن قاب های متناهی را به عنوان گروه جایگشت ها روی مجموعه ی اندیس گذار مشخص می کنیم. متناظر باگروه تقارن جایگشت ها، گروه تقارن شامل همه نگاشت های خطی ومعکوس پذیر روی فضای مورد نظر معرفی می شود که عناصر قاب را به خودشان می برد. این گروه ارتباط تنگاتنگی با گروه تقارن وال و والدرون برای قاب های چسبان دارد. این دو گروه یکریختند وقتی قاب چسبان و شامل بردارهای متمایز است. گروه تقارن همه ی قاب های متشابه یکی است، به ویژه برای یک قاب، دوگان و قاب چسبان متعارف آن گروه تقارن یکسانی دارند. به راحتی می توان از روی ماتریس گرام یک قاب چسبان متعارف گروه تقارن متناظر با آن را یافت، به علاوه یک قاب و متمم آن گروه تقارن یکسانی دارند. با توجه به خاصیت اخیر رده خاصی از قاب ها به نام قاب های چسبان با بیشترین تقارن را معرفی می کنیم.

یکی از اهداف مهم جبر هومولوژی توصیف حلقه ها برحسب بعدهای هومولوژیکی است. در این راستا، یک رده جدید از مدول ها و به دنبال آن یک بعد هومولوژیکی جدید به نام های رده مدو ل های fp-انژکتیو گرنشتاین قوی و بعد fp-انژکتیو گرنشتاین قوی را معرفی می کنیم و خواص این رده از مدول ها را مورد مطالعه قرار می دهیم. مهم ترین مطالبی که در این قسمت بررسی می شوند، بسته بودن این رده از مدول ها تحت جمع و ضرب مستقیم و نیز بررسی رابطه های شمول زیر است: رده مدول های fp-انژکتیو ? رده مدول های fp-انژکتیو گرنشتاین قوی ? رده مدول های fp-انژکتیو گرنشتاین هم چنین با مثال هایی نشان می دهیم که این روابط شمول اکید هستند. سپس بسیاری از نتایجی را که قبلاً در مورد بعدهای تصویری (انژکتیو، یکدست) گرنشتاین قوی ثابت شده است، در مورد این بعدها بررسی می کنیم. در ادامه نتایج جدیدی در مورد این مدول ها و بعدهای آن ها به دست می آوریم که در خور توجه است. در پایان هم مهم ترین مطلبی که در واقع هدف اصلی ما بوده را نشان می دهیم، یعنی ثابت می کنیم حلقه های fc می توانند توسط این رده از مدول ها توصیف شوند.

در اینجا ما حلقه هایی را معرفی و مطالعه می کنیم که روی انها همه مدولها تخت گرنشتاین قوی هستند. همان طور که در حالت مقدماتی حلقه هایی را که روی انها همه ی مدولها تخت هستند، منظم فان نیومن می نامیم. در اینجا نیز این حلقه ها را حلقه های منظم فان نیومن گرنشتاین قوی می نامیم. همچنین با ارایه مثالهایی از حلقه هایی که روی انها همه ی مدولها ، تخت گرنشتاین هستند، اما تخت گرنشتاین قوی نیستند متذکر می شویم که حلقه های منظم فان نیومن گرنشتاین دلیلی ندارد که منظم فان نیومن گرنشتاین قوی باشند. در مرحله ی بعد ثابت مبی کنیم که حلقه های منظم فان نیومن بر حلقه های نیم ارثی که روی انها هر زیر مدول متناهیا تولید شده از یک مدول تصویری پی جمعوند مستقیم از پی است منطبق می شوند. یکی دیگر از قضایای مهمی که در اینجا ثابت خواهیم کرد این است که حلقه های منظم فان نیومن گرنشتاین قوی در واقع همان حلقه های نیم ارثی گرنشتاین قوی هستند که نیم ساده هم باشند

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.