در این پایان نامه که مشتمل بر چهار فصل می باشد سعی بر این است مباحثی در مورد پایه ها در فضای هیلبرت و باناخ، قاب ها و ارتباط قاب ها و پایه های ریس مطرح شود. در فصل اول مقدماتی که شامل تعاریف و قضایای لازم است ، آورده شده است. در فصل دوم ابتدا تعریف پایه در فضای باناخ آورده شده است و پس از آن مطالبی در مورد پایه های هیلبرتی ، بسلی، ریس و شادر در فضای هیلبرت عنوان می شود. فصل سوم که در واقع مهمترین فصل این پایان نامه است باتعریف قاب و ذکر خواص آن شروع می شود و در ادامه ضمن بررسی ارتباط قاب ها با پایه های متعامد و پایه های ریس قضایایی در مورد قاب های فشرده نرمال عنوان می شود و در آخر مثالی از قاب فشرده نرمال ذکر شده است که شامل یک پایه شادر است ولی شامل هیچ پایه ریسی نیست. فصل چهارم که آخرین فصل می باشد با تعریف پایه شبه ریس شروع می شود و پس از آن به تحلیل قضایای اثبات شده در مورد آن می پردازد و اثبات می شود که می توان برخی شرایط ذکر شده را براحتی حذف نمود. در بخش آخر ضمن استفاده از برخی خواص فضاهای باناخ خاص و تعریف قاب ریس ، یک قضیه اثبات شده در این زمینه را تحلیل نمود.