هدف اصلی این پژوهش بررسی قضیه توسیع مک ویلیامز بوده که در 3 فصل تنظیم شده است. ابتدا در فصل اول به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی می پردازیم. بخش های ابتدایی این فصل مفاهیم اولیه نظریه حلقه ها و مدول ها بوده و در انتهای فصل با بیان چند قضیه و لم، خواص حلقه های شبه فروبنیوسی و فروبنیوسی را(که ارتباط مستقیم با قضیه توسیع(هم ارزی) مک ویلیامز در فصل سوم دارند)، مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل دوم، با بیان مفاهیم کد، کدهای خطی و قضایای مرتبط با آن ها، اصول و مفاهیم مقدماتی نظریه کدگذاری را تعریف می کنیم. همچنین در انتهای این فصل، قضیه مهم مک ویلیامز و در فصل سوم، قضیه هم ارزی مک ویلیامز برای کدها روی حلقه های فروبنیوسی متناهی را بیان و اثبات می کنیم.

در این پایان نامه، ابتدا برخی تعاریف و مفاهیم اولیه ی مربوط به روش اختلال هموتوپی را بیان و معادلات دیفرانسیل را معرفی می کنیم، پس از آن روش اختلال هموتوپی و اصلاحات آن را برای معادلات دیفرانسیل معمولی به کار می بریم. در ادامه یک روش اختلال هموتوپی اصلاح شده را برای معادلات ساین - گوردون بیان کرده و پس از آن معادلات دیفرانسیل تاخیری و چگونگی استفاده از روش اختلال هموتوپی استاندارد و اصلاح شده را برای حل این نوع معادلات مورد بررسی قرار می دهیم.

این پایان نامه، مشتمل بر سه فصل و با موضوعات کاملاً مجزا ارائه می گردد. در فصل اول به ارائه روش های تکراری دایره برای ریشه یابی توابع مختلط می پردازیم و این روش را با بعضی از روش های دیگر مقایسه می کنیم. فصل دوم به معرفی یک روش تکراری برای مینیمم یابی و ماکزیمم یابی توابع چند متغیره اختصاص دارد. فصل سوم که به معادلات انتگرال اختصاص دارد، در خصوص یک روش عددی برای حل معادلات انتگرال فردهلم جدایی پذیر که جواب های آنها توابعی یک و چند متغیره هستند، بحث می شود. به علاوه در این فصل روشی تحلیلی برای یافتن جواب های دقیق معادلات انتگرال خطی و معادلات انتگرال - دیفرانسیل خطی، ارائه می گردد.

در این پایان نامه بعد از معرفی روش کمترین مربعات متحرک به حل عددی معادلات انتگرال یک بعدی و دو بعدی و معادلات انتگرال-دیفرانسیل خطی و غیر خطی می پردازیم. این روش یک ایزار موثر برای تقریب یک تابع مجهول با استفاده از داده های نا منظم است. روش کار به این ترتیب است که ابتدا جواب معادله را با روش کمترین مربعات متحرک تقریب زده و با کمک نقاط هم محلی به یک دستگاه رسیده و سپس آن را حل می کنیم.