حل مسائل کنترل بهینه ی بنگ-بنگ با استفاده از روش شبه طیفی لژاندر اصلاح شده

در مسائل کنترل بهینه، هدف یافتن تابع کنترلی است که در دینامیک سیستم و شرایط مرزی صدق کرده و تابعی معیار را مینیمم کند. مسائل کنترل بهینه ی بنگ-بنگ، دسته ی مهمی از مسائل کنترل بهینه هستند که در آن ها متغیرهای کنترل دارای قیود کرانه ای بوده و از یک مقدار اکسترمم به مقدار اکسترمم بعدی پرش ناپیوسته دارند و در تابع هدف و دینامیک سیستم به صورت خطی ظاهر می شوند. کنترل بهینه در این مسائل تابع تکه ای ثابت است و این ناپیوستگی، حل این دسته از مسائل کنترل بهینه را پیچیده تر می کند. به محض این که کنترل ها به صورت بنگ-بنگ فرض شوند مسئله به پیدا کردن زمان های سوئیچ تبدیل می شود. با توجه به این که به دست آوردن یک جواب تحلیلی برای مسائل کنترل بهینه با جواب بنگ-بنگ در برخی موارد دشوار و در بسیاری از موارد امکان ناپذیر است، بنابراین ارائه ی یک روش عددی موثر و کارا برای حل این گونه مسائل از اهمیت بسیاری برخوردار است. در این پایان نامه، از روش شبه طیفی لژاندر اصلاح شده، برای به دست آوردن جواب مسائل کنترل بهینه ی بنگ- بنگ استفاده می شود. در این روش، توابع کنترل و حالت، به ترتیب توابعی تکه ای ثابت و تکه ای پیوسته هستند. تعداد نقاط سوئیچ و زمان های سوئیچ به عنوان متغیرهای تصمیم در نظر گرفته شده و به صورت حدس اولیه وارد مسئله می شوند‎.‎ برای سادگی در گسسته سازی، شکل انتگرالی معادلات دینامیکی در نظر گرفته شده است. با استفاده از این روش، مسئله به یک برنامه ریزی غیرخطی تبدیل شده که توسط تابع ‎fmincon‎ در ‎matlab 2008‎ حل می شود. مزیت های اصلی این روش عبارتند از: ‎‎1-حتی با استفاده از تعداد کمی از نقاط، نتایج خوبی به دست می دهد و نرخ همگرایی بالایی دارد. 2-زمان های سوئیچ را می توان با دقت زیادی محاسبه کرد. ‎3-چنان چه تعداد نقاط سوئیچ اشتباه انتخاب شود امکان تصحیح آن با توجه به شبیه سازی و نتایج عددی وجود دارد.