روش های سنتی در حل معادلات با مشتقات پاره ای بر اساس گسسته سازی شبکه هستند که به خصوص برای مسایل با بعد بالا، یک فرآیند پیچیده و زمان بر است. روش های بی نیاز از شبکه تلاش می کنند تا بر فرآیند دردسرساز تولید شبکه فایق آیند. یکی از روش های بی نیاز از شبکه، روش هم مکانی rbf است که در آن توابع پایه شعاعی به طور مستقیم برای تقریب جواب های معادلات به کار می روند. این روش دارای مزیت های گوناگونی مثل پیاده سازی ساده، استقلال از بعد، دقت بالا و همگرایی سریع است. روش هم مکانی rbf برای مسایل با مقیاس معمولی کارایی بهتری نسبت به روش های سنتی دارد، اما برای مسایل با مقیاس بزرگ، ماتریس ضرایب حاصل بسیار بدوضع است که باعث ناپایداری این روش می شود. یکی از بهترین راه حل های ممکن استفاده از تجزیه ی دامنه است. ایده ی اصلی تجزیه ی دامنه، حل چندین مساله ی کوچک به جای یک مساله ی بزرگ است. در این پایان نامه، درون یابی با توابع پایه شعاعی، روش های هم مکانی مبتنی بر توابع پایه شعاعی برای حل معادلات با مشتقات پاره ای و ترکیب این روش ها با روش تجزیه دامنه برای حل چنین معادلاتی مورد بررسی قرار گرفته است.

مدل سازی اکثر مسایل مقدار اولیه ناشی از پدیده های فیزیکی، فرآیندهای شیمیایی و مطالعات مهندسی منجر به معادلات دیفرانسیل عادی و یا پاره ای با شرط اولیه می شوند.این معادلات اغلب بسیار پیچیده هستند و در کل نمی توان آنها را به صورت تحلیلی حل کرد. بنابراین ارایه یک روش عددی مناسب برای تقریب جواب و کنترل دقت این تقریب از اهمیت قابل توجهی برخوردار است. روشهای طیفی توسیعی از روش مانده های وزنی هستند که برای حل odes و pdes روی دامنه های منظم به کار می روند. اساس این روشها توابع پایه و توابع وزن است. توابع پایه بینهایت بار مشتق پذیرند. چندجمله ایهای لاگر و لژاندر مثالی از توابع پایه هستند. این روشها بنا به انتخاب توابع پایه و وزن به روشهای گالرکین، تاو و هم مکانی تقسیم بندی می شوند. هدف اصلی در این پایان نامه این است که با استفاده از روش طیفی هم مکانی بر پایه درون یاب گاوس-لاگر بتوان انواع مسایل مقدار اولیه را حل نمود. ساختار این پایان نامه به شرح زیر است. در فصل اول به معرفی روشهای طیفی پرداخته و ویژگی های چندجمله ای های لاگر را بیان میکنیم. در فصل دوم روش طیفی لاگر را برای حل معادلات دیفرانسیل عادی با شرط اولیه به کار می بریم و برآورد خطا را برای آن انجام خواهیم داد. سپس به منظور بهبود خطا روش تصفیه را بیان خواهیم کرد. در فصل سوم به بررسی معادلات دیفرانسیل سرسخت، معادلات همیلتونی و معادلات انتگرال ولترا خواهیم پرداخت و پیاده سازی روش هم مکانی لاگر را بیان می کنیم. در بخش آخر نیز با کمک چندجمله ایهای لژاندر، کاربرد روش هم مکانی را در حل pdes با شرایط اولیه-مرزی بررسی خواهیم کرد.

چکیده: در این پایان نامه ابتدا به درون یابی با استفاده از توابع پایه شعاعی می پردازیم و سپس با استفاده از درون یابی فرمول های تفاضلات متناهی را به دست آورده و آن ها را برای حل عددی معادلات با مشتقات پاره ای خطی وغیر خطی استفاده می کنیم. جواب تقریبی چند معادله ی خطی و غیر خطی لاپلاس و گرما را به دست آورده و تاثیر پارامتر شکل را در معادلات بررسی می کنیم و در نهایت پایداری و همگرایی این روش ها را بررسی خواهیم کرد.

پایه ی گروبنر یکی از ابزارهای محاسباتی برای مطالعه ی ایده آل های چندجمله ای است که توسط بوخبرگر در سال 1965 معرفی شد. کاربردهای فراوان پایه ی گروبنر در ریاضیات و صنعت، محققان را بر آن داشته تا به دنبال طراحی الگوریتم کارا و سریعی برای محاسبه ی آن باشند. در سال 2002، فوژر با طراحی و ارائه ی الگوریتم f_5 سریع ترین الگوریتم محاسبه ی پایه ی گروبنر را معرفی کرد. این الگوریتم از دو محک محاسباتی قوی به نام های محک f_5 و محک بازنویسی استفاده می کند. در این پایان نامه پس از ارائه ی مقدمات لازم، الگوریتم f_5 را معرفی می کنیم و به اثبات قضایای مربوط به آن می پردازیم. همچنین محک بازنویسی را روی الگوریتم بوخبرگر بهبودیافته نصب کرده و نتیجه ی آن را با الگوریتم بوخبرگر بهبودیافته مقایسه می کنیم. در پایان نیز کاربرد پایه ی گروبنر را در تجزیه ی چندجمله ای ها روی میدان های جبری و محاسبه ی چندجمله ای کمینه ی ماتریس ها بررسی خواهیم کرد.

چون از یک طرف بسیاری از پدیده های فیزیکی به صورت معادلات تحولی غیرخطی مدل می شوند و از طرف دیگر روش تفاضل متناهی فشرده دارای ویژگیهای شاخص پایداری، کارایی و همگرایی مرتبه بالا است، در این پایان نامه قصد داریم به بررسی حل عددی برخی معادلات تحولی غیرخطی به کمک روش تفاضل متناهی فشرده بپردازیم. این پایان نامه را میتوان به دو بخش تقسیم کرد: 1) در بخش اول معادله تحولی را تعریف کرده و مقدمه ای بر پیدایش این گونه معادلات می آوریم. همچنین تاریخچه ای از ابداع روش تفاضل متناهی فشرده و چگونگی ساخت این روش را تشریح میکنیم. 2) در بخش دوم چند نمونه از معادلات تحولی مانند معادلات برگرز، شرودینگر یک و دو بعدی، grlw و kdv را تعریف کرده و با استفاده از روش تفاضلات فشرده آنها را حل میکنیم. در ضمن پایداری و همگرایی را نیز بررسی کرده و با مثالهایی دقت روش را در بوته آزمایش قرار میدهیم.

یکی از اصول پایه در طرح آزمایش ، کاهش دادن خطای آزمایش است. طرح بلوک بندیشده اغلب این مهم را برآورده می کند. اگر دو منبع اغتشاش تغییر پذیر وجود داشته باشد، حذف این دو منبع اغتشاش تغییر پذیر، تنها از طریق بلوک بندی در دو جهت میسر میباشد. به عبارت دیگر در طرح دو عامل بلوک بندی مورد استفاده قرار می گیرد که یک عامل با سطرها و عامل دیگر با ستون های طرح مشخص می-شود. چنین طرحی را طرح سطری - ستونی می نامند. طرح های سطری - ستونی با p سطر و q ستون شامل pq واحد آزمایشی می باشند. در حالت کلی، یک آزمایش می تواند شامل گروه هایی از طرح های سطری - ستونی باشد که این گروه ها امکان ایجاد یک عامل بلوک بندی بیشتر و یا تکرار طرح آزمایش پایه را فراهم می کنند. در این حالت سطرها و ستون ها داخل بلوک ها آشیان می کنند، چنین طرح هایی را سطری - ستونی آشیانه ای (nrc) می نامند. برای ساختن طرح های سطری - ستونی، می توان به کمک شبه عامل ها ? تیمار را به ? ترکیب تیماری یک آزمایش عاملی تخصیص داد. سپس توسط روش مخلوط کردن در دو جهت، یک طرح سطری - ستونی ساخت. در فصل سوم روشی برای مخلوط کردن در طرح های سطری- ستونی بیان شده است. یکی از انواع مهم طرح های سطری - ستونی آشیانه ای، طرح های سطری – ستونی تجزیه پذیر هستند که در آن ها هر تیمار دقیقاً یک بار در هر گروه یا بلوک رخ می دهد. یک کلاس مهم از طرح های سطری - ستونی تجزیه پذیر طرح های مربع مشبکه ای هستند که در فصل چهارم a - بهینگی این طرح ها مورد بررسی قرار می گیرد. در فصل پنجم بهینگی طرح های سطری - ستونی آشیانه ای بررسی می شود

در این پایان نامه ابتدا روش نقاط متناهی و همگرایی آن برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای خطی مورد تحلیل قرار می گیرد. سپس کارایی این روش برای حل معادلات مستقل از زمان در نواحی نامنظم، همچنین معالات وابسته به زمان در نواحی بزرگ بررسی می شود. علاوه بر این، بحث پایداری این روش برای معادلات وابسته به زمان در حالاتی خاص مطرح می شود. مثال ها و نتایج عددی ارایه شده در هر فصل، کارایی و دقت روش مطرح شده را به خوبی نشان می دهد. در فصلهای مختلف این پایان نامه روش نقاط متناهی برای حل معادلات متفاوت در نواحی پیچیده پیاده سازی شده است

روش های چندشبکه ای به عنوان خانواده های از روشهای تکراری، از کاراترین روش های افزایش نرخ همگرایی دستگاه های حاصل از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل پاره ای از جمله معادلات بیضوی است. برای پیاده سازی الگوریتم های چندشبکه ای مولفه های مستقلی مانند عملگرهای انتقال، روشهای هموارساز و عملگر شبکه درشت باید مشخص شوند که نحوه انتخاب هر یک از این مولفه ها می تواند تاثیر زیادی روی کارایی روش داشته باشد. در این پایان نامه ابتدا بررسی جامعی درباره روش ها و اصول چندشبکه ای صورت گرفته است سپس از ترکیب تقریب های تفاضلی مختلف با روش های چندشبکه ای برای حل معادله دیفرانسیل پواسون روی شبکه منظم استفاده شده است. در مطالعات صورت گرفته ترکیب های مختلفی از مولفه های چندشبکه ای شامل درونیابی و درشت سازی پوشش داده شده است برای انتقال ماتریس ضرایب به شبکه درشت از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل بر روی شبکه درشت استفاده شده است نتایج عددی حاصل از مقایسه طرح های تفاضلی مرتبه دوم استاندارد و تقریب تفاضلی مرتبه چهارم فشرده برای حل معادله پواسون با روش های چندشبکه ای نشان می دهد که ترکیب تقریب تفاضلی مرتبه چهارم با روش های چندشبکه ای باعث بالا رفتن دقت جواب عددی به طور چشمگیری می شود.

این پایان نامه به ساختار روش تفا ضل متناهی و تجزیه و تحلیل عددی جواب به دست آمده از آن، برای معادله ی دیفرا نسیل جزئی غیر خطی بلک - شولز، می پردازد. این نوع معادلا ت، در مدل سازی ارزش گذاری اختیار معامله در مواقعی که هزینه های انجام معامله (کار مزد) در نظر گرفته می شوند، ظاهر می شوند. هزینه های معاملا تی در فرآیند پوشش ریسک سبد های سرمایه به وجود می آیند. مدل غیر خطی که در این پایان نامه تحلیل می شود، مدل بار لس- سو نر می باشد که هنوز برای این مدل روش عددی کاملاً غیر خطی و مناسب به کار برده نشده است. در این پایان نامه به حل عددی معادله های دیفرا نسیل جزئی بلک - شولز برای ارزش گذاری اختیار معامله، توسط مفهوم روش نیمه گسسته سازی پرداخته می شود. در مدل خطی، گسسته سازی نسبت به متغیر دارایی بنیادین، دقت نسبتاً بالایی را از تقریب جواب ایجاد می کند و در مدل غیر خطی، یعنی مدل سازی ارزش گذاری اختیار معامله با توجه به هزینه های انجام معامله، روش نیمه گسسته سازی جواب عددی قابل قبولی را فراهم می آورد. بعد از پیدا کردن جواب عددی، سازگاری و پایداری آن مورد مطالعه قرار می گیرد و برای توضیح بیشتر چند مثال حل می شود.

معادلات دیفرانسیل پاره ای کسری، تعمیم یافته ی معادلات دیفرانسیل پاره ای کلاسیک هستند که به طور فزاینده، در مسائل کاربردی مانند جریان مایعات، مدل سازی پدیده های مالی و... مورد استفاده قرار می گیرند. در این پایان نامه، به بررسی برخی از روش های عددی تفاضلات متناهی برای رده ای از مسائل مقدار اوّلیه-مرزی معادلات دیفرانسیل پاره ای کسری، با ضرایب متغیر روی یک دامنه ی محدود می پردازیم. همچنین روشهای عددی را برای معادلات دیفرانسیل پاره ای کسری، زمانی که مشتق کسری-فضایی طرف چپ یا راست ظاهر می شود، شرح می دهیم. با گسسته سازی در زمان با استفاده از روش صریح و گسسته سازی مشتق کسری فضایی با استفاده از تقریب های گرانوالد استاندارد، تقریب های تفاضل متناهی برای این معادلات به دست می آوریم و نشان می دهیم که روش ناپایدار است. جالب اینکه اگر مشتق کسری از طرف راست نیز در این معادلات ظاهر شود، ناپایداری روش های اویلر با تقریب های گرانوالد استاندارد بهبود نمی یابد. در ادامه، برای به دست آوردن یک روش اویلر صریح پایدار،از تقریب گرانوالد انتقال یافته برای گسسته سازی مشتق کسری فضایی استفاده می کنیم. نشان می دهیم که روش پایدار مشروط و سازگار است. سپس تقریب اویلر ضمنی را برای معادلات دیفرانسیل پاره ای-کسری در فضای دو طرفه شرح می دهیم و با گسسته سازی مشتق های کسری فضایی توسط گرانوالد انتقال یافته، نشان می دهیم که روش پایدار نامشروط است. نتایج پایداری و همگرایی روش های عددی برای معادلات دیفرانسیل پاره ای کسری، در شرایطی واحد، با نتایج پایداری و همگرایی مربوط به معادلات دیفرانسیل پاره ای کلاسیک هذلولوی وسهموی مطابقت دارند. در آخر با ارائه ی مثال عددی برای معادلات دیفرانسیل پاره ای کسری و مقایسه ی حل عددی با حل تحلیلی آن موضوع را به پایان می رسانیم.

در این پایان نامه، دو روش انتگرال گیری عددی با دقت بالا برای یافتن مقدار تقریبی انتگرال ارائه شده است. این روش ها، برای چندجمله ای های از درجه 2n و 2n+1 یا کمتر دقیق هستند وبر اساس چند جمله ای های ژاکوبی و لاگر تعمیم یافته که جواب های مساله اشترم لیویل هستند، بیان شده اند. در این روش ها، وزن های درونی و مرزی وابسته به گره های درونی و مرزی با یکدیگر مقایسه می شوند. درنهایت عبارت های صریحی برای این وزن ها به دست آمده که این عبارت ها فرمول های صریحی برای وزن های قاعده انتگرال گیری گاوس رادو با نقطه پایانی مضاعف را نتیجه می دهند. هدف اصلی از ارائه این روش ها به دست آوردن مقادیر با دقت بالا برای انتگرال هایی است که در حل مسائل گوناگون ظاهر می شوند.

در این پایان نامه روش گالرکین بدون المان چند-مقیاس? تغییراتی برای حل برخی معادلات تحولی غیرخطی مانند معادلات برگرز، معادله سینوسی گوردن و معادلات شرودینگر به کار برده شده است. در مقایسه هایی که با روش گالرکین بدون المان صورت گرفته است، در بیشتر حالات پایداری عددی بهتری نتیجه می شود.

چکیده ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ در چند دهه ی اخیر روش های بی نیاز از شبکه به دلیل انعطاف پذیری بالا در کاربرد، به سرعت توسعه یافته اند. در این پایان نامه ابتدا روش گالرکین بی نیاز از عناصر که در تقریب توابع شکل بی نیاز از شبکه است، معرفی می شود. هم چنین همگرایی عددی این روش برای معادلات دیفرانسیل با مشتق های پاره ای بیضوی و مستقل از زمان مورد بررسی قرار می گیرد. روش گالرکین بی نیاز از عناصر مبتنی بر تقریب کمترین مربعات متحرک است. توابع شکل حاصل از این تقریب در خاصیت دلتای کرونکر صدق نمی کنند، از این رو شرایط مرزی دیریکله به دو روش ضرایب لاگرانژ و جریمه اعمال می شوند. پس از آن روش پتروف- گالرکین موضعی که هم در تقریب توابع شکل و هم در انتگرال گیری بی نیاز از شبکه است، بیان می شود. در پایان، کارایی این روش با ارایه نتایج عددی مورد تحلیل قرار می گیرد.‎

اساس این پژوهش معرفی شبکه ایی ساده ولی کارا برای ارزش گذاری اختیار معاملات غیر استاندارد تحت فرایند لوی توسط "تبدیل فوریه سریع"(fft) است.سپس شبکه اصلی توسط تکنیک "شبکه پرتابی پیشرو"(fgs)به منظور وفق دادن با متغیر های "مسیر وابسته" گسترش می یابد.از آنجایی که فرم بسته تابع مشخصه برای تمام فرآیند های لوی وجود دارد، این شبکه برای همه مدل های لوی قابل اجراست. این شیوه ارزش گذاری بسیار شبیه روش (lattice)است.مثال های عددی که بر نوع آمریکایی اختیار معاملات مانع و گذشته نگر انجام شده است، حاکی از دقت و کارایی شبکه مذکور دارد.

‏ در این رساله درنظر داریم کرانهای بالا با نرخ نزول l^2 را برای معادلات ناویه استوکس بوزینسک محاسبه می کنیم. با استفاده از نرخ نزول l^2 از جوابهای معادله حرارت این کار را انجام می دهیم. ابتدا فرض می کنیم جوابهای معادلات بوزینسک هموار یا به اندازه کافی مشتق پذیر هستند، سپس کرانهای بالا با نرخ نزول l^2 را برای جوابهای هموار معادلات ناویه استوکس بوزینسک محاسبه می کنیم و همچنین نرخ نزول l^2 را برای تفاضل بین جوابهای معادلات ناویه استوکس بوزینسک و معادلات حرارت با شرط اولیه یکسان بدست می آوریم. این نتایج نزول را می توان با حد گرفتن از دنباله جوابهای تقریبی بدست آوریم. ابزار اصلی ما در این رساله استفاده از تبدیلات فوریه است. لری در سال ???? وجود جوابهای ضعیف را برای معادلات ناویه استوکس بوزینسک به اثبات رساند. اسچونبک در سال ???? نرخ نزول جوابهای ضعیف معادلات ناویه استوکس را نشان داد. موریموتو و هیشیدا بر روی وجود، یکتایی و ویژگی های منظمی از جوابهای مطالعاتی انجام داده اند. در این رساله به مطالعه مقاله ینگ لیو که در آن به نرخ نزول کرانهای بالا برای جوابهای معادلات بوزینسک پرداخته است می پردازیم. در این رساله در سه فصل به مطالعه و بررسی مقاله یینگ لیو می پردازیم. در فصل اول معادلات ناویه استوکس بوزینسک را بیان می کنیم و حالت خاصی از این معادله را در نظر می گیریم و مطالعه مان را محدود به حالتی خاص می کنیم. ساختار معادلات ناویه استوکس بوزینسک شبیه به ساختار معادلات ناویه استوکس در دینامیک سیالات می باشد. در فصل دوم تعاریف و مفاهیم اولیه آورده شده و نامساوی مورد نیاز این رساله هم در این فصل گنجانده شده است. بیشتر این مطالب را از کتاب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی ایوانز آورده شده است. در ادامه فصل دو به بیان چهار لم اساسی می پردازیم و اثبات این چهار لم را با استفاده از اثباتی که توسط اسچونبک در مرجع شماره دو رساله آورده شده است بیان و تشریح کرده ایم. در فصل سوم در دو بخش کرانهای بالا برای جوابها و قضیه اصلی به بیان نتیجه اصلی این رساله پرداخته ایم.

توابع پایه شعاعی (rbf) ابزار مفیدی برای حل عددی ، معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای می باشند، که هنگام حل عددی آن ها در مرز خطاهای بزرگی رخ می دهد بنابراین لازم است تا رفتار rbf ها در نزدیکی مرزها بررسی و بدنبال راهی برای بهبود دقت آن ها باشیم. در این پژوهش تقریب های توابع پایه شعاعی مورد بررسی قرار می گیرد این روش راهکاری برای بر طرف کردن کاهش دقت در نزدیکی مرزها برای مسایلی که دارای دامنه ی نامنظم هستند، ارایه می کند. همچنین روی تغییرات rbf های مختلف در مرزهای یک بازه و راه های ممکن برای افزایش دقت در نزدیکی مرزها در بعد 1 تمرکز می شود . rbf ها به داده های پراکنده ی تصادفی اجازه می دهند تا به راحتی به چند بعد فضایی تعمیم یابند . به علاوه rbf ها می توانند جواب هایی با دقت بالا ارایه دهند تعمیم این روش ها برای حل مسایل دو بعدی نیز مورد بررسی قرار می گیرد.

نقدینگی بازار یکی از مباحث بسیار مهم در مدیریت ریسک مالی است. در یک بازار کاملاً نقدی مدل ارزش-گذاری اختیارمعامله به صورت یک مسأله ی بلک -شولز خطی شناخته می شود. مدل های غیرخطی زمانی ظاهر می شوند که هزینه ی معاملات یا اثرات بازار های غیرنقدی مدنظر قرار بگیرند. این مقاله به تجزیه و تحلیل عددی معادلات غیرخطی بلک-شولز می پردازد، که به مدل سازی بازار های غیرنقدی مربوط اند. وقتی تغییر قیمت در بازار دارایی بنیادین باعث ایجاد تغییراتی در پوشش اختیارمعاملات اروپایی می شود، تجزیه و تحلیل عددی یک مدل غیرخطی ضروری می شود، چون روش های عددی با دقت پایین و محاسبات عددی نامربوط ممکن است یک مدل خوب ریاضی را تضعیف کند. در این پایان نامه براساس [10] و [26]، یک روش عددی مبتنی بر تفاضلات متناهی برای حل معادله ی غیرخطی بلک-شولز ارائه می کنیم، که دارای ویژگی های پایداری و یکنوایی بوده و همچنین دارای جوابهای نامنفی برای معادله است. همین طور نشان می دهیم این روش عددی سازگار بوده و مرتبه ی دقت آن را به-دست می آوریم.

این پایان نامه بر اساس مرجع ]9 [، به تجزیه و تحلیل عددی و شبیه سازی معادلات غیر خطی بلک - شولز برای مدل سازی بازار های غیر نقدی می پردازد که در آنها پیاده سازی یک استراتژی پوششی پویا بر روی قیمت دارایی بنیادین اثر می گذارد. یک روش تفاضلات متناهی که جواب های عددی نا منفی دارد و از نوسانات نا-مناسب جلوگیری می کند، پیشنهاد می شود. خواص پایداری و سازگاری این روش مورد بررسی قرار می گیرد و شبیه سازی های عددی از جمله تغییرات در پارامتر نقدینگی بازار را شامل می شود.

در این پایان نامه، به بررسی جواب معادلات دیفرانسیل انتگرال غیرخطی تحت تاثیر میدان مغناطیسی که با تقریب تفاضلات متناهی در زمان های بزرگ به دست آمده اند، می پردازیم. همچنین جواب در زمان های بزرگ از مسائل مقداراولیه - مرزی با شرایط مرزی دیریکله همگن، را مطالعه می کنیم.

در‎ این پایان نامه روش متعارف و رایج کانسا‏ و‎ ‎همچنین‎ روش های جواب های ویژه ی یک مرحله ای و روش تازه گسترش یافته ی ‎mfs-mps‎‏ با استفاده از توابع پایه شعاعی چند مربعی و مخروطی‏، در حل معادله با مشتق های پاره ای غیرهمگن مرتبه ی دو و چهار در بعد دو و سه مورد بررسی قرار گرفته ا‎‏ند. مزیت این روش ها این است که ‏یک مرحله ای و همچنین بی نیاز از شبکه بندی و مشکل های ناشی از آن هستند. اگر چه روش ‎mfs-mps‎‏ از لحاظ پیاده سازی و برنامه نویسی پیچیده تر است‏، با این حال نسبت به دو روش دیگر نتایج عددی بهتری ارایه می کند.

با تفکیک معادله ی تحولی و غیرخطی dp به معادله های برگرز و bbm و استفاده از روش های تفاضل های متناهی و روش های با خاصیت tvd به ترتیب در حل معادله های برگرز و bbm و حل هم زمان آن ها با روش تفکیک عملگر استرنگ، جواب های معادله ی dp به دست آورده می شود. در این پایان نامه، شبیه سازی جواب های سلیتونی، پیکونی، پاد پیکون، پیکون های شوک دار و موج حاصل از برخورد تعدادی از این نوع امواج، در معادله ی dp، در شبکه های مختلف، مورد بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه ابتدا طرح های نیمه-لاگرانژی و معادله تغییریافته برای حل معادله تحولی غیرخطی برگرز بررسی شدهو آنالیز خطای این معادله را ارزیابی می کنیم. سپس این روش را روی برخی معادله های تحولی غیرخطی دیگر از جمله معادله دوبعدی برگرز و معادله های kdv و mkdv مورد بررسی قرار می دهیم و در پایان هر بخش یک مجموعه نتایج عددی را برای بررسی دقت و کارایی این روش ارئه می دهیم

در این پایان نامه روش عددی کارآمدی برای قیمت گذاری اختیارمعاملات آمریکایی، که پویایی دارایی پایه ی آن از یک فرایند دیفیوژن دو متغیره پیروی می کند، ارائه می دهیم. تکنیک فراهم شده تجزیه ی دوب--میر قیمت اختیارمعامله ی آمریکایی تحت وجود تلاطم تصادفی، که قیمت اختیار را به مجموع دو جمله ی قیمت اختیار اروپایی متناظر و هزینه ی اجرای زودرس تجزیه می کند، را به کار می برد. جواب به دست آمده برای قیمت اختیار آمریکایی شامل مرز اجرای زودرس است که نامعلوم است و باید برآورد شود. در این پایان نامه این سطح مرزی را به کمک روش حداقل مربعات مونت کارلو لانگ استف و شوارتز، که ترکیبی از یک روش مونت--کارلو و رگرسیون حداقل مربعات است، برآورد می کنیم و با جایگذاری در جواب به دست آمده به قیمت اختیارمعامله ی آمریکایی می رسیم. نتایج عددی نشاندهنده ی دقت و سرعت مطلوب محاسباتی هستند. همچنین روش ارائه شده مشکل اساسی که در روش حداقل مربعات لانگ استف و شوارتز مطرح است، یعنی انتخاب نوع و تعداد توابع پایه ای، را ندارد.

نظر به افزایش و تنوع خطرهایی که واحدهای اقتصادی با آن روبرو هستند، امروزه ابزارهای مشتقه مالی اهمیت بسیاری یافته و حجم معامله گری این مشتقات به مقدار قابل توجهی افزایش یافته است. همچنین در طول دهه های اخیر تکنیک-های محاسباتی و ریاضی خیره کننده ای برای تحلیل بازارهای مالی گسترش یافته اند. اکنون به سطحی از نوآوری مالی رسیده ایم که ضروری است همه ی متخصصین علوم مالی از چگونگی کارکرد این بازارها، نحوه ی استفاده از آن ها و همچنین ساز و کار تعیین قیمت در این بازارها آگاه باشند. در این پایان نامه به مسأله ارزش گذاری نوعی از این ابزار، یعنی اختیارمعاملات گسسته توأم با مانع دوتایی می پردازیم. به این منظور، برای ارزش گذاری این اختیارمعاملات، روش های کمی ارزش گذاری (روش شبیه سازی مونت کارلو و روش تفاضلات متناهی) را تشریح و مورد استفاده قرار می دهیم. همچنین از یک الگوریتم جدید برای ارزش گذاری این نوع اختیارمعاملات استفاده می کنیم. مقایسه نتایج نشان می دهد که این الگوریتم از لحاظ دقت و سرعت پیاده سازی در کامپیوتر، عملکرد بهتری نسبت به سایر روش های ذکر شده دارد.

در بعضی موارد با مسایلی روبه رو هستیم که جواب یا مشتق های جواب دارای ناپیوستگی است‏، و از این دیدگاه استفاده از عناصر متناهی پیوسته مناسب این گونه مسایل نیستند. همچنین در حل بعضی مسایل با استفاده از روش گالرکین‏، ماتریس سختی‏، ماتریسی منفرد می شود. برای حل این مسایل از روش گالرکین ناپیوسته استفاده می کنیم. در این پایان نامه ابتدا روش گالرکین ناپوسته و سپس معادله ی زیرپخش معرفی می شوند. در ادامه به حل و آنالیز همگرایی این معادله با استفاده از روش گالرکین ناپیوسته ی قطعه ای خطی و قطعه ای ثابت می پردازیم. مثال ها و نتایج عددی ارایه شده در فصل آخر کارایی و دقت روش مطرح شده را به خوبی نشان می دهد.

رفتار دستگاه های فیزیکی اغلب توسط معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای مدل سازی می شوند و جواب تحلیلی این مسایل فقط در حالت های خاص وجود دارد. بنابراین استفاده از روش های عددی برای حل این گونه مسایل اجتناب ناپذیراست. روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای را می توان به دو دسته ی روش های وابسته به دامنه و روش های مرزی تقسیم بندی کرد. روش تفاضلات متناهی ، روش عناصر متناهی و روش حجم های متناهی نمونه هایی از روش های وابسته به دامنه هستند و روش عناصر مرزی، روش نقاط مرزی و روش گالرکین مرزی بی نیاز از شبکه نیز نمونه ای از روش های مرزی هستند. تبدیل معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای به معادله انتگرال مرزی اساس روش های مرزی است. با این تبدیل بعد مساله کاهش می یابد و تولید شبکه که در روش_های وابسته به دامنه هزینه بر است، با هزینه بسیار کمتر تولید می شود. از مهم ترین مزایای این روش ها حل مسایل با دامنه نامتناهی و دامنه نیمه نامتناهی است. روش های وابسته به دامنه در حل این نوع مسایل با مشکلات زیادی مواجه هستند. حل مسایل با دامنه نامتناهی و مرز منتاهی با روش های مرزی هزینه ای معادل با حل مسایل با دامنه های متناهی را دارد. در برخی از مسایل فیزیکی هدف به دست آوردن مقدار مجهول در دامنه نیست. در این مسایل کافیست مقادیر مجهول روی مرز مشخصشود. در روش های مرزی ابتدا کلیه مقادیر مجهول روی مرز را به دست می آوریم. بنابراین این روش ها در حل چنین مسایلی نیز کاربرد دارند. روش های مرزی اغلب دقت بهتری نسبت به سایر روش ها دارند. این روش ها مشتقات توابع مجهول را نیز با دقت مناسبی تقریب می زنند. با وجود مزایای بیان شده برای این روش ها، پیشرفت در سایر روش ها سریع تر است. یکی از علت کند بودن پیشرفت روش های مرزی را می توان آنالیز پیچیده در این روش ها دانست. معادلات انتگرال مرزی به دست آمده از معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای دارای هسته تکین هستند و برخی از این انتگرال ها در حالت توزیعی قابل تعریف هستند. برای بررسی چنین انتگرال هایی نیاز به مبحث عملگرهای شبه دیفرانسیلی است که در سال های اخیر توسعه یافته و برای بسیاری از ریاضیدانان و مهندسین ناآشناست. تبدیل معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای به معادله انتگرال مرزی، به کمک جواب اساسی معادله دیفرانسیل صورت می گیرد. جواب اساسی معادلات دیفرانسل غیر خطی و معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر در حالت کلی در دسترس نیست و این روش ها در حل این گونه معادلات با مشکل مواجه خواهند شد. ترکیب روش های مرزی و روش_های وابسته به دامنه در حل این گونه مسایل می تواند مفید باشد. یکی دیگر از معایب این روش ها وجود راه های متفاوت برای تبدیل یک معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای به معادله انتگرال مرزی است که هر کدام نیز معادله انتگرال متفاوتی را به دست می آورند. برای برخی از این معادلات هیج گونه آنالیز خطایی وجود ندارد و نتایج تجربی، همگرایی این روش ها را تضمین می کند. در سال های اخیر دسته جدیدی از روش ها با عنوان روش های بی نیاز از شبکه مطرح شدند. در این روش ها با در نظر گرفتن نقاط پراکنده روی دامنه و مرز آن از تولید شبکه جلوگیری می شود. تولید شبکه در روش های وابسته به دامنه باعث ایجاد مشکلات زیادی می شود و به همین دلیل کارایی روش های بی نیاز از شبکه بیشتر در روش های وابسته به دامنه دیده می شود. با در نظر گرفتن توابع پایه تقریب کمترین مربعات متحرک به عنوان توابع آزمون و محک در روش گالرکین مرزی، روش نقاط مرزی گالرکین بی نیاز از شبکه را خواهیم داشت

حسابان کسری پیشینه ای حدود سیصد سال دارد، با این وجود توسعه و آنالیز حسابان کسری و معادلات دیفرانسیل کسری به رشد کافی نرسیده است که بتوان آن را به حسابان کلاسیک وابسته دانست. در طول دهه گذشته، تغییراتی در آن صورت گرفته است که حسابان کسری را برای دامنه وسیعی از پدیده_های غیرکلاسیک در علوم کاربردی و مهندسی شفاف تر ساخته است. برای بیان نمونه ای از این تغییرات می توان به مدلی از فرایند انتقال غیرعادی و انتشار اشاره نمود که باعث به وجود آمدن معادلات مشتقات پاره ای از نوع کسری شد. این مدل، دامنه وسیعی ازکاربرد ها مانند جریان های متخلخل، مدل سازی فرایند های متنوع زیستی و انتقال در هم جوشی پلاسما و ... را شامل می شود. پیدایش کاربرد ها و مدل سازی مبنی بر حسابان کسری، نیاز برای توسعه روش های محاسباتی با دقت و سرعت بالا برای حل معادلات را ضروری می سازد. روش های عنصر متناهی و تفاضل متناهی وبه تازگی روش های گالرکین ناپیوسته و گالرکین ناپیوسته موضعی برای حل این معادلات، توسعه یافته و با موفقیت مورد استفاده قرار گرفته اند.اگر چه روش های عددی زیادی برای معادلات با مشتقات پاره ای کسری پیشنهاد شده است اما به تازگی تقریب عددی با استفاده از روش عنصر متناهی برای این چنین معادلات به کار گرفته می شود. روش عنصرمتناهی گالرکین ناپیوسته روش مناسبی برای معادلات مشتق پاره ای کسری است به این دلیل که کارایی وانعطاف پذیری ومرتبه همگرایی بالا بدون تکرارهای بالا به دست می آید.ایده روش گالرکین ناپیوسته موضعی، بازنویسی معادله مشتق پاره ای مرتبه بالا به دستگاه های مرتبه اول است که در این صورت می توان روش گالرکین ناپیوسته را برای حل دستگاه به کار گرفت. عامل اصلی برای موفقیت در چنین روش هایی، طراحی و انتخاب مناسب شار عددی در اشتراک بین عنصر ها است. شارهای عددی به گونه ای انتخاب می شوند که پایداری و حل پذیری موضعی همه متغیر های کمکی معرفی شده برای تقریب مشتق جواب، را تضمین کند. حل پذیری موضعی از متغیرهای کمکی همان دلیلی است که در بعضی مراجع روش گالرکین ناپیوسته موضعی که به اختصار به ldg معروف است، روش دوگان گالرکین ناپیوسته و یا روش گالرکین ناپیوسته ترکیبی نام گذاری شده است.

روش های ذره ای یک دسته از روش های بی نیاز از شبکه را تشکیل می دهند که در سال های اخیر مورد توجه محققان زیادی قرار گرفته اند. از محاسن این روشها سادگی در پیاده سازی است که کار در نواحی بزرگ را ساده کرده است. وارد کردن شرایط مرزی مسأله معضلی است که عمده این روش ها از آن رنج می برند. روش هیدرودینامیک ذره ای هموار شده (sph) از معروف ترین این روش هاست که در سال 1977 توسط لوکی و سپسگینگولد و موناگان جهت کار در مسایل ستاره شناسی معرفی شد. از آنجایی که حرکت ستارگان مشابه با جنبش مایعات و حرکت گازهاست، این روش به زودی در مکانیک سیالات نیز مورد استفاده قرار گرفت. مشکلات ناشی از وارد کردن شرایط مرزی در این روش منجر به تحقیقات زیادی شد که روش هیدرودینامیک ذره ای هموار شده اصلاح شده از اولین نتایج این تلاشهاست. در نهایت در سال 199? لیو با معرفی روش ذره ای بر اساس هسته ی بازیافتی (rkpm) انقلابی در روش های ذره ای به پا کرد. سادگی در پیاده سازی و دقت بالا در وارد کردن شرایط مرزی، این روش را به یکی از محبوب ترین روش ها در سال های اخیر تبدیل کرده است. محققانی همچون هان و چن نیز کارهای ارزشمندی در این زمینه انجام داده ند. در میان محاسن بی شماری که برای این روش می توان بر شمرد این روش از مشکلی بزرگ رنج می برند. زمانی که شبکه یکنواخت نباشد دقت جواب به شدت کاهش پیدا می یابد. همچنین نمی توان بدون در نظر گرفتن ملاحظاتی شبکه را تشکیل داد. این روش را می توان به دو گروه تقسیم کرد: روشی که با فرم انتگرالی معادله کار می کند که به روش گالرکین بی نیاز از شبکه معروف است و روشی که با صورت قوی معادله دیفرانسیل کار می کند. در این پایان نامه سعی بر این داشته ایم که روش ذره ای بر اساس هسته ی بازیافتی مورد بررسی قرار بگیرد. موضوع اصلی این پایان نامه استفاده از این روش در صورت قوی معادله دیفرانسیل است. ولی برای کامل بودن موضوع و جلوگیری از گمراهی خواننده استفاده از صورت ضعیف نیز معرفی شده است. در فصل دوم به اختصار به معرفی روش sph می پردازیم. از آنجایی که این روش پایه به وجود آمدن روش rkpm است، معرفی این روش برای خواننده خالی از لطف نیست. انواع مفاهیم در مدل سازی به وسیله ی sph محاسن و معایب آن بررسی شده اند. در بخش آخر نیز به ارایه راهکار برای مشکلات می پردازیم. فصل سوم را به توضیح کامل و دقیق ایده ی روش rkpm و چگونگی کار آن پرداخته ایم. تکنیک های مختلف برای پیاده سازی روش در این فصل ارایه شده است. بررسی خطای درونیابی و ملاحظات لازم برای تولید شبکه در این روش یکی از بخش های مهم این فصل است. روش rkpm با استفاده از صورت ضعیف به اختصار معرفی شده است و خطای آن را نیز بررسی کرده ایم. در فصل چهار هسته های ثابتی معرفی شده اند که برای حل عددی معادلات در این پایان نامه از آنها استفاده شده است. با استفاده از مثال های مختلف دقت بالای این هسته ها را در درونیابی توابع بع روش rkp بررسی کرده ایم. در فصل پنج به بررسی و حل مسایل لایه مرزی پرداخته ایم. ابتدا مسیله ی همرفت-پخش و چگونگی پیاده سازی روش برای آن بررسی شده است. سپس مسأله ی هیدرودینامیک مغناطیسی برای نشان دادن چگونگی پیاده سازی روش در دستگاه های معادلات بررسی شده است. در پایان هر بخش با بررسی مثال های متنوع کارایی روش بررسی شده است. در نهایت فصل شش به مسایل بیضوی اختصاص یافته است. همانند فصل قبل ابتدا مسأله ی لاپلاس به عنوان یک معادله ی بیضوی و سپس مساله ی کشسان یکنواخت به عنوان دستگاه معادلات بیضوی حل شده است. به چگونگی استفاده از روش در ناحیه ی نامنظم نیز پرداخته ایم.

مدل سازی پدیده های فیزیکی اغلب منجر به تولید معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای می شوند. اما یافتن جواب تحلیلی برای این معادلات همیشه امکان پذیر نیست. بنابراین استفاده از روش های عددی برای حل این معادلات اجتناب ناپذیر به نظر می رسد. اگرچه روش های عددی سنتی مبتنی بر گسسته سازی شبکه مانند روش تفاضلات متناهی (‎‎‎fdm)، روش عناصر متناهی (fe‎m) ، روش حجم های متناهی ((fvm و روش عناصر مرزی (bem) ‎‎برای حل مسایل در زمینه های مختلف علمی به طور چشم گیری توسعه یافته اند، اما استفاده از این روش ها هنوز دارای معایبی است. چگونگی رویارویی با مرزهای نامنظم در روش تفاضلات متناهی، ذخیره سازی حجم وسیعی از اطلاعات در روش عناصر متناهی و مسایل مربوط به محاسبه ی جواب های اساسی‎ در روش عناصر مرزی از جمله مشکلات مربوط به این روش هاست. تولید شبکه های مناسب و وابستگی زیاد دقت این روش ها به چگونگی شبکه بندی دامنه ی فیزیکی مساله، از دیگر مشکلات عمده در بین تمامی این روش هاست. اگرچه در دهه های گذشته تلاش های زیادی در زمینه تولید شبکه‎ صورت گرفته است، اما همچنان تولید شبکه فرآیندی پیچیده و زمان بر است. تلاش برای غلبه بر این مشکلات، در طی ‏سه دهه ی گذشته موجب پیدایش خانواده ای دیگر از روش های عددی برای حل معادلات با مشتقات پاره ای، تحت عنوان روش های بی نیاز از شبکه شده است که در طی سال های اخیر توجهات زیادی را به خود جلب کرده است. هدف اولیه ی این روش ها حذف یا حداقل کاهش مشکلات ناشی از تولید شبکه است. در این روش ها به منظور غلبه بر مشکلات ناشی از تولید شبکه، دامنه و مرز مساله براساس نقاط گره ای‎‎ گسسته سازی می‎شوند‏، که در حالت کلی این نقاط به طور نامنظم و بدون ارتباط از پیش تعیین شده ای در دامنه پراکنده شده اند . اگرچه این روش ها در مقایسه با قدمت روش های مبتنی بر شبکه، هنوز در گام های ابتدایی اند، اما مزایای این روش ها باعث گسترش چشمگیر آن ها شده است. با توجه به عدم نیاز به ساختار شبکه ای، این روش ها برای مسایلی با دامنه های پیچیده یا دامنه هایی که از نظر شکل هندسی تغییر می کنند، به خوبی قابل پیاده سازی هستند. همچنین انعطاف پذیری بالای این روش ها، امکان توسیع آن ها را به ابعاد بالاتر فراهم می آورد. علاوه بر این در این روش ها می توان با افزودن نقاط گر‏هی در ناحیه ای دلخواه از دامنه، دقت روش را در آن ناحیه افزایش داد. از دیگر مزایای این روش ها مرتبه بالای پیوستگی توابع شکل‎‎ است. در کنار مزایای ذکر شده برای روش های بی نیاز از شبکه‏، این روش ها دارای معایبی نیز هستند. توابع شکل مورد استفاده در این روش ها اغلب در خاصیت دلتای کرونکر صدق نمی کنند بنابراین برای اعمال شرایط مرزی دیریکله نیازمند تکنیک های خاصی هستیم.‎ از طرفی برخلاف روش عناصر متناهی‏، توابع شکل استفاده شده در روش های بی نیاز از شبکه چندجمله ای نیستند و مشتق مرتبه ‎‎‎‎l‎‎‎‏-ام این توابع با افزایش ‎l‎‎‎‏‏، افزایش می یابد. به علاوه ماتریس سختی معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت‏، به طور دقیق قابل محاسبه نیست. بنابراین توابع شکل مورد استفاده در روش های بی نیاز از شبکه فاقد این دو خصوصیت‎‎ نسبت به توابع شکل مورد استفاده در روش عناصر متناهی هستند. از این رو برای محاسبه انتگرال توابع شکل روش های بی نیاز از شبکه‏، نیازمند روش های عددی با مرتبه دقت بالا هستیم که باعث افزایش هزینه ی محاسباتی می شود‎‎. در این پایان نامه روش پترو-گالرکین موضعی بی نیاز از شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای را معرفی کرده و کارایی این روش را برای حل معادلات مستقل از زمان خطی و غیرخطی و معادلات وابسته به زمان مورد بررسی قرار خواهیم داد. با ارایه ی مثال ها و نتایج عددی دقت و کارایی روش را نشان می دهیم.‎‏

در این پایان نامه به پیاده سازی روش گالرکین مبتنی بر روش تقریب بی نیاز از شبکه ی ‎rkpm‎‏ برای حل معادلات دیفرانسیل پاره ای با استفاده از نرم افزار ‎matlab‎ می پردازیم. برای اعمال شرایط مرزی دیریکله از روش جریمه استفاده شده است. با استفاده از تکنیک های برنامه نویسی سعی بر بهینه سازی زمانی و حافظه ی مورد استفاده برای حل مسایل مختلف داشته ایم. ‏از جمله این تکنیک ها می توان به ‏،‎vectorization‎‏‏ ‎‏استفاده‎‎‎ از الگوریتم ‎kd-tree‎‏ برای جست وجوی گره ی همسایه‏، استفاده از روش حذفی گاوس برای محاسبه ی معکوس ماتریس‏، و نحوه تعریف توابع می توان اشاره کرد. نتایج به دست آمده در مثال هایی از مسایل بیضوی همچون مساله ی لاپلاس و الاستیسیته در دو و سه بعد نشان دهنده ی کارآیی‏، دقت و سرعت این روش برای حل معادلات را نشان می دهد. همچنین با مثالی نشان داده شده که ‏می توان از پدیده ی قفل شدن شبکه در این روش جلوگیری کرد.

در این پایان نامه به کمک چندجمله ای های چبیشف و لژاندر روش هایی برای حل عددی دسته ای از معادلات انتگرال معرفی کرده و با ارایه ی چند مثال و آنالیز خطای موجود، کارایی و دقت این روش ها را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه یک روش ‏هم مکانی چندجمله‏ ای موضعی مستحکم‏ برای حل معادلات با مشتقات پاره ای مستقل از زمان ارایه می ‏ شود که بر اساس روش نسبتا ساده و آسان هم مکانی است. روش ‏جدید طوری بسط داده شده که معادله حاکم و همچنین شرایط مرزی را بر آورده نموده است. این الزام، روش جدید را دقیق تر و مستحکم تر از روش های هم مکانی متداول، به ویژه در تخمین جواب مشتقات پاره ای در نزدیکی مرزها ساخته است. مطالعات در مورد حساسیت‏ پارامتر شکل و شعاع دامنه محمل در حل چند مسئله ی آزمونی انجام شده است.‎‎‎‎‎‎‎ ‎‎

روش گالرکین نائیوسته برای حل معادله موج به خصوص برای زمان های شبیه سازی طولانی به کار می رود. در این پایان نامه برای گسسته سازی مکان از روش گالرکین ناپیوسته استفاده می کنیم. آنالیز خطا را برای روش گالرکین ناپیوسته با استفاده از آنالیز فوریه، برای معادلات همرفت خطی وابسته به زمان با شرایط مرزی متناوب گسترش می دهیم و ویژگی فوق همگرایی را برای چند جمله های از درجه k روی هر عنصر مطالعه می کنیم. گسترش این روش برای دستگاه معادلات دیفرانسیل هذلولوی غیر خطی می تواند از اهداف بعدی باشد.

در این پایان نامه، به بررسی توزیع دمای یک فیلم نازک فلزی در مواجه با پالس‏ لیزر در قالب اختلاف فاز دوگانه به عنوان کاراترین قالب موجود پرداخته ایم.معادله انتقال گرما در ابعاد زیر میکرو کاربردهای زیادی در بررسی رفتار حرارتی فیلم های نازک فلزی دارد. انتقال گرما در ابعاد میکرو با انتقال گرما در ابعاد معمولی متفاوت است. در معادله گرمای مربوط به ابعاد زیر میکرو مشتق مرتبه دوم دما نسبت به زمان وجود دارد همچنین مشتق مرتبه دوم دما نسبت به مکان و در عین حال مشتق مرتبه اول دما نسبت به زمان به طور ترکیبی موجود است. روش تجزیه ادومیان زمانی که جواب تحلیلی معادلات پیدا نمی شود و یا موجود نیست،با ارائه یک تقریب از جواب تحلیلی به شکل یک سری قطع شده کارا می باشد. با استفاده از روش تجزیه ادومیان و روش تجزیه دوگانه ادومیان تقریبی از جواب تحلیلی مسئله گرما با ابعاد زیر میکرو را یافته ایم. کاهش قابل توجه محاسبات کامپیوتری در اثر استفاده از روش ادومیان در مقایسه با دیگر روش ها که محاسبات کامپیوتری زیادی دارند، اصلی ترین عامل فراگیر شدن استفاده از این روش می باشد. در استفاده از روش ادومیان نیازی به شبکه بندی نیست و جواب مسئله تحلیلی و در شکل یک سری قطع شده به دست می آید. همچنین اگر در معادله ای عامل غیر خطی موجود باشد روش ادومیان جواب مسئله را بدون نیاز به خطی سازی به دست می آورد.