در چند دهه اخیر، معادلات حرکتی غیر خطی به طور گسترده ای برای توصیف بسیاری از پدیده های مهم و فرآیند های دینامیکی در فیزیک، ریاضی، بیولوژی و غیره مورد استفاده قرار گرفته است. جی هوآن هی در سال 2006 یک روش موًثر که به روش تابع نمائی معروف شد را برای بدست آوردن جواب های منفرد تعمیم داده شده و جواب های دوره ای معادلات حرکتی غیر خطی پیشنهاد کرد. مراحلی از فرآیند رسیدن به جواب در این روش، به کمک نرم افزار میپل انجام می گیرد و این به سادگی روش افزوده است، لذا این روش به آسانی می تواند برای حل انواع معادلات حرکتی غیر خطی گسترش پیدا کند. در این پایان نامه، روش تابع نمائی را برای حل معادلات موج غیر خطی، دستگاه معادلات غیر خطی و معادلات دیفرانسیل غیر خطی به کار برده ایم و نتایج بدست آمده را در موارد مشابه با نتایج حاصل از بکارگیری روش های تانژانت هذلولی و تانژانت هذلولی اصلاح شده مقایسه و برتری آین روش را نشان داده ایم. مثال هایی را برای حل این گونه معادلات نظیر معادلات ناویر-استوکس و معادله شرودینگر ذکر نموده ایم که این مثال ها، سادگی و کارآیی این روش را در یافتن جواب های دقیق این معادلات نشان می دهند.

دستگاه را در نظر بگیرید، که در آن و یک ماتریس تنک بزرگ و غیرهرمیتی معین مثبت است. هدف از انجام این پایان نامه معرفی و بررسی برخی از روش های تکراری است که مبتنی بر شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب ماتریس ضرایب می باشد. روش تکراریhss اولین بار در سال 2002 برای حل دستگاههای خطی غیر هرمیتی و معین مثبت توسط بای، گلوب و انجی مطرح شد. سپس روش تکراریhss بخاطر خواص بسیار خوب ریاضی اش و کارائی بسیار خوبش مورد توجه بسیاری قرار گرفت و در بسیاری از مقالات جنبه های مختلف این الگوریتم جدید مورد بحث قرار داده شد. در همان سال روش پیش شرط سازی شد?hss (phss) توسط برتاچینی، گلوب، کاپیزانو و پوسیو پیشنهاد گردید. در سال 2007 روشhss تعمیم یافته(ghss) توسط بنزی ارا ئه شد و در سال 2007 روش ahss توسط بای و گلوب مطرح و مورد بررسی قرار گرفت. در این پایان نامه ابتدا به بررسی جامعی از روشهایhss وghss پرداخته و شرایط همگرایی و نحو? پیاده سازی آنها را مورد بررسی قرار خواهیم داد و همچنین استفاده از پیش شرطhss را در مورد حل مسأل? کمترین مربعات توپلیتز وزن دار شده و نوشته شده به صورت دستگاه افزوده، را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در پایان برای نشان دادن کارائی پیش شرطhss و روش های hss وghss مثال های عددی را ارائه خواهیم داد.

ایده اصلی روش تبدیل دیفرانسیل اولینبار توسط زو ارائه گردید. او این روش را برای حل مسائل مقدار اولیّه خطی و غیرخطی در مدارهای برق به کار برد. روش تبدیل دیفرانسیل ، یک فرایند تکراری برای به دست آوردن جواب تحلیلی به شکل چند جمله ای، برای معادلات دیفرانسیل و انتگرالی مختلف فراهم می کند. با این فن، معادله دیفرانسیل داده شده و شرایط اولیّه وابسته به آن، به یک معادله بازگشتی تبدیل می شود و جواب های این معادله به عنوان ضرایب سری توانی جواب تحلیلی معادله دیفرانسیل، به کار برده می شود. در این پایان نامه، ما روش تبدیل دیفرانسیل را برای حل تعدادی از معادلات انتگرالی و معادلات با مشتقات جزئی به کار برده ایم. اعتبار و کارایی این فن، به وسیله حل تعدادی مثال برای یافتن جواب های عددی یا تحلیلی و مقایسه آن ها نشان داده شده است.

در سالهای اخیر بسیاری از مسائل در علوم از قبیل فیزیک، شیمی و مهندسی به شکل معادلات دیفرانسیل کسری معمولی و معادلات دیفرانسیل کسری با مشتقات جزئی مدل بندی شده اند ، لذا روشهای حل اینگونه از معادلات به ویژه در حالت غیرخطی توجه بسیاری از محققان را به خود جلب کرده است. مهمترین هدف محققان برای حل این قبیل از معادلات این بوده است که روشی را برای حل آنها ارائه دهند که آن روش دارای کمترین خطای ممکن باشد. روشی را که برای حل معادلات دیفرانسیل کسری در این پایان نامه می خواهیم مورد بررسی قرار دهیم، روش تکرار تغییراتی میباشد. ابتدا انتگرال و مشتقات کسری، معادلات دیفرانسیل کسری و خواص اساسی آنها را مورد مطالعه قرار خواهیم داد، سپس شکل کلی این معادلات را در حالت غیر خطی در نظر گرفته و به معرفی روش تکرار تغییراتی که به منظور حل معادلات یاد شده بکار خواهد رفت، می پردازیم. در ادامه به پیاده کردن این روش برای بدست آوردن جواب تقریبی معادله ی دیفرانسیل کسری شبه موج و شبه گرما در حالت سه بعدی پرداخته و با ارائه مثال-هایی نشان خواهیم داد که این روش دارای جوابهایی نزدیک تر به جوابهای دقیق نسبت به روشهای موجود می باشد. بالاخره همگرایی این روش را برای حل معادله ی دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای مورد بررسی قرار خواهیم داد.

روشی که در این ‏پایان نامه از آن برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی بهره گرفته ایم، اولین بار در سال 1992 توسط لیائو بکار برده شد. او شکل اولیه روش تحلیلی هموتوپی را در سال 1992 برای حل یک معادله دیفرانسیل غیرخطی بکار برد. در این روش، از معادله ای به نام معادله تغییر شکل مرتبه صفر استفاده کرد. این معادله از یک حدس اولیه برای جواب و یک عملگر خطی کمکی تشکیل شده است. روش هموتوپی لیائو، آزادی زیادی برای انتخاب این دو پارامتر فراهم می کند.‎‏ ‏در ادامه لیائو دریافت که روش تحلیلی هموتوپی نمی تواند همگرایی سری های تقریب را تضمین کند، لذا برای غلبه به این محدودیت در 1997 پارامتر کمکی غیرصفری را معرفی کرد، تا خانواده ای از معادلات دو پارامتری ایحاد کند. این پارامتر را، پارامتر کنترل-همگرایی می نامند. در سال 2008 مارینکا با ترکیب دوپارامتر از معادله تغییر شکل مرتبه صفر لیائو، به معادله جدیدی دست یافت. این روش، روش هموتوپی مجانبی نام گرفت که در چارچوب روش تحلیلی هموتوپی قرار می گیرد.‏‎‎‎‏‎ مارینکا در ادامه، روش بهینه هموتوپی مجانبی را توسعه داد که در آن مربع خطای باقیمانده مینیمم می شود. در این روش، به تعداد مرتبه ی تقریب، پارامتر کنترل-همگرایی به کار رفته است‏، که باعث می شود تقریب بهتری بدست آید‏، اما در عوض، محاسبه ی مربع خطاهای باقیمانده در این روش بسیار زمان بر خواهد شد. ‎در سال 2009‏، ژائو نیوبه منظور ارتقاء کارآمدی روش هموتوپی برای حل مسائل غیرخطی‏، روش دیگری به نام روش تحلیلی هموتوپی بهینه ی تک گامی را معرفی کرد. ‎ رهیافت ‎‎‏دیگری که در این پایان نامه، از آن برای حل معادلات غیرخطی استفاده می کنیم، رهیافت تحلیلی هموتوپی بهینه می باشد، که توسط لیائو ارائه شده و تنها از سه پارامتر کنترل-بهینه استفاده شده است. ‎او در این رهیافت‏، به منظور کم کردن زمان محاسبه ی مربع خطای مانده‏، تعریف دیگری به نام متوسط خطای مانده را ارائه کرده است. آنچه در این رساله به رشته ی تحریر در آمده است‏، بیان و مقایسه ی سه روش هموتوپی بهینه ی تک گامی ژائو نیو‏، هموتوپی مجانبی مارینکا و هموتوپی بهینه ی لیائو می باشد.

در این پایان نامه روشهای عددی برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری را بررسی می کنیم. تمرکز ما روی روشهای چندگامی کسری از هر دو نوع صریح و ضمنی است. استفاده از روشهای صریح در حل عددی معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری موضوعی است که هنوز عمیقاً تحقیق نشده است. در اینجا خواص پایداری برخی روشهای چندگامی از نوع صریح مورد مطالعه قرار گرفته و روشهای جدید با بازه های پایداری بزرگتر پیشنهاد شده است. همچنین مثال های عددی به منظور اعتبار نتایج نظری ارائه شده است. در نهایت نیز از میان روشهای ضمنی فقط به دسته ای از روشهای چندگامی خطی آدامز-مولتن خواهیم پرداخت و روی خاصیت پایداری آنها تمرکز خواهیم کرد.

در دهه های اخیر معادلات حرکتی غیرخطی به طور گسترده ای برای توصیف بسیاری از پدیده های مهم و فرآیند های دینامیکی در فیزیک، ریاضی، بیولوژی و غیره مورد استفاده قرار گرفته است. جی هوآن هی در سال 2006 یک روش کارا که به روش تابع نمایی معروف شد را برای بدست آوردن جواب های منفرد و جواب های متناوب معادلات حرکتی غیرخطی پیشنهاد کرد. مراحلی از این روش به کمک نرم افزار میپل انجام می گیرد و این به سادگی روش می افزاید، لذا این روش را به آسانی می توان برای حل انواع معادلات حرکتی غیرخطی گسترش داد. در این پایان نامه روش های از نوع تابع نمایی، توسعه و تعمیم داده می شود، که این هدف با ارائه یک الگوریتم محاسباتی مناسب برای پیدا کردن ساختار جواب معادلات دیفرانسیل غیرخطی دنبال می گردد. این الگوریتم نیاز برای حدس زدن این که، ساختار جواب به چه شکلی است را رفع می کند و همچنین ساختار جواب را به طور خودکار تشخیص می دهد. این الگوریتم در مقابل روش های از نوع تابع نمایی می باشد که در آن ساختار جواب در ابتدا حدس زده می شود و سپس محاسبات نمادین برای تعیین پارامترها به کار برده می شود. همچنین نشان خواهیم داد که لازم نیست جواب معادله لیوویل که با روش تابع نمایی بدست آمده است، معادله دیفرانسیل اصلی را برای هر شرط اولیه ای صدق کند.

با اینکه روشهای طیفی در حل معادلات دیفرانسیل به طور قابل ملاحظه ای مورد توجه قرار گرفته اند، تجربه اندکی در به کار بردن این روشها برای حل معادلات انتگرالی ولترا موجود است. در این پایان نامه روشهای طیفی را برای حل معادلات انتگرالی ولترای نوع دوم بکار می بریم. پایان نامه با مروری بر نظریه و کاربرد معادلات انتگرالی ولترا و مفاهیم مقدماتی روشهای طیفی آغاز می شود. سپس روشهای طیفی هم محلی و گالرکین مبتنی بر چندجمله ای های لژاندر، برای حل عددی معادلات انتگرالی ولترای نوع دوم پیشنهاد می شوند. با توسیع این دو روش، روشهای طیفی هم محلی و گالرکین فراکروی برای تقریب معادلات انتگرالی ولترا و آمیخته ولترا-فردهولم دو بعدی ارایه می شوند. بعلاوه روش طیفی هم محلی برای حل دستگاه معادلات انتگرالی? ولترا با ضرایب متغیر به کار می رود. سرانجام یک روش طیفی جدید برای حل مسایل کنترل بهینه مقید به معادلات انتگرالی و انتگرال-دیفرانسیل ولترا ارایه می شود. معلوم شد که روشهای طیفی، روشهایی کارا و قابل اطمینان برای تقریب معادلات انتگرالی ولترای نوع دوم می باشند. همچنین این روشها بر سایر روشهای عددی ذکر شده در این پایان نامه از لحاظ دقت برتری داشتند.

روش تکرار پارامتری روشی است که در سال 2008 توسط مولف این رساله, برای حل مسائل غیرخطی ‏معرفی شده است. اید? اساسی این روش بسیار ساده و سرراست است و به هیچ وجه به ابزارهای پیچیده از شاخه ریاضی محض یا شاخه های دیگر نیاز ندارد. ‏این می تواند مهم ترین مزیت روش نسبت به روش ‏های موجود دیگر باشد.‎ ‏پیاده سازی روش نشان می دهد که روش در اجرا ساده است و وقتی در مسائل غیرخطی ‏به کار گرفته شود دقیق می باشد. در این رساله‏، پس از ذکر پیش نیازهای لازم, به معرفی کامل این روش می پردازیم. ‏پارامتر کمکی درون چهارچوب روش یک روند راحت برای کنترل و بهبود ناحیه و نرخ همگرائی جواب را برای ما فراهم می کند. همچنین یک برهان جدید از همگرائی روش تکرار پارامتری برای حل معادلات دیفرانسیل ‏غیرخطی داده می شود. سپس کاربردهای جالبی از این روش را در ارتباط با مسائل غیرخطی مطرح می کنیم. در ادامه, با اصلاح این روش, روش های دیگری به نام های روش تکرار پارامتری بریده/طیفی قطعه ‏ای را برای حل برخی مسائل مقدار اولیه غیرخطی ارائه می دهیم. همچنین‏، یک روش تکرار پارامتری بهبودیافته را برای حل بعضی مسائل مقدار مرزی غیرخطی به کار می گیریم. نتایج عددی‏، سودمندی و دقت روش را ‏در حل مسائل دیفرانسیلی غیرخطی نشان می دهد.

در این پایان نامه یک روش عددی موسوم به روش ماتریسی بسل برای تقریب زدن جواب معادلات دیفرانسیل-انتگرال ولترا و فردهولم-ولترا خطی از مرتبه بالا تحت شرایط مخلوط مورد بررسی قرار گرفته است. این روش با استفاده از چندجمله ای های بسل و روش هم محلی معادله دیفرانسیل-انتگرال را به یک معادله ماتریسی تبدیل می کند. معادله ماتریسی متناظر با یک دستگاه معادلات خطی با ضرایب مجهول بسل است. بعلاوه روش ماتریسی بسل برای تقریب زدن جواب دستگاه معادلات انتگرالی ولترا، دستگاه معادلات دیفرانسیل-انتگرال فردهولم خطی از مرتبه بالا و رده ایی از معادلات دیفرانسیل-انتگرال با هسته منفرد به طور ضعیف نیز به کار برده می شود. زمانی که جواب دقیق مسأله به صورت چندجمله ای باشد روش ماتریسی بسل جواب دقیق را ارائه می دهد، در غیر این صورت با استفاده از روش ماتریسی بسل یک جواب تقریبی با دقت بالا به دست خواهد آمد.

واژه ی تصویر ذهنی برای شرح تمام ساختارهای شناختی وابسته به یک مفهوم که شامل تمام تصاویر موجود در ذهن، ویژگی ها، خصوصیات و فرایندهای مربوط به آن مفهوم می باشد مورد استفاده قرار می گیرد. هدف این پژوهش بررسی تصویر ذهنی فراگیران از خط مماس بر منحنی و ارتباط آن با سبک های شناختی (میدان وابسته/میدان ناوابسته و همگرا/واگرا)، توانایی فضایی، دانش قبلی و عملکرد ریاضی آنها در مبحث مشتق توابع می باشد. تعداد صدوبیست ونه دانش آموز سال سوم دبیرستان رشته ی ریاضی و فیزیک، در شهرستان های لارستان و گراش واقع در استان فارس مورد مطالعه قرار گرفتند. برای جمع آوری داده ها از دو آزمون سبک شناختی، آزمون خط مماس، آزمون ریاضی در رابطه با مشتق و آزمون توانایی فضایی استفاده گردید. تجزیه و تحلیل داده ها و آزمون فرضیه ها به کمک نرم افزار آماری (spss) انجام شد و نتایج نشان داد که نوع تصویر ذهنی که در ذهن فراگیران شکل می گیرد به سبک های شناختی (میدان وابسته/میدان ناوابسته و همگرا/واگرا) و توانایی فضایی آنها وابسته می باشد. همچنین هرچه دانش قبلی فراگیران بیشتر و کامل تر باشد تصویر ذهنی که در ذهن آنها از مفاهیم جدید شکل می گیرد مناسب تر می باشد و عملکرد ریاضی بهتری دارند.

روش های بدون شبکه یکی از انواع روش های عددی می باشد که در حل معادلات با مشتقات جزئی مورد استفاده قرار می گیرند. این روش ها برای تقریب یا درون یابی نیازمند شبکه بندی دامنه نیستند و از گره های پراکنده در دامنه استفاده می کنند. بنابراین مستقل از شکل هندسی دامنه می باشند. روش کمترین مربعات متحرک یکی از انواع این روش ها می باشد. در این پایان نامه پس از معرفی روش های بدون شبکه و تشریح ویژگی ها و طبقه بندی انواع آن با استفاده از روش بدون شبکه کمترین مربعات متحرک به حل عددی معادلات انتگرالی فردهولم و ولترای خطی در حالت یک بعدی و دو بعدی پرداخته و با ارائه مثال ها و حل آن با روش مذکور به بررسی نتایج عددی حاصل می پردازیم. علاوه بر آن خطای روش کمترین مربعات متحرک برای حل معادلات انتگرالی فردهولم یک بعدی و دو بعدی مورد بررسی قرار می گیرد. ویژگی روش به کار رفته که آن را از دیگر روش ها متمایز می سازد مستقل بودن آن از شکل هندسی دامنه و کارا بودن برای هر پراکندگی دلخواه از نقاط گره ای در دامنه می باشد. این در حالی است که روش های موجود در حل معادلات انتگرالی چندمتغیره بر روی یک ناحیه غیر مستطیلی نظیر هم محلی یا گالرکین نیازمند گسسته سازی دامنه بوده و انجام محاسبات بر روی زیردامنه ها صورت می گیرد. گسسته سازی و ایجاد شبکه مشکل اصلی در این روش ها می باشد که با جایگزین کردن روش های بدون شبکه مانند روش ارائه شده در این پایان نامه می توان تا حدی بر این مشکلات فائق آمد.

استفاده‎‎ از موجک ها در ‏حل مسائل مختلف موجود در علوم و مهندسی به سرعت در حال افزایش است. ‏در بخشی از این رساله به مطالعه روش حل معادلات انتگرالی ولترای خطی با کمک موجک های دابشی و کویفلت ها می پردازیم. مهم ترین موضوع در این بخش‏، معرفی ضرایب ارتباط جدیدی است که قبلاً تعریف نشده اند و ارائه روش هایی برای به دست آوردن این ضرایب است. همچنین با اثبات قضایایی‏، همگرایی جواب تقریبی به دست آمده از این روش ها به جواب اصلی را بررسی می کنیم. در بخش دیگری از این رساله با استفاده از موجک های چندگانه لژاندر‏، به ارائه روشی برای به دست آوردن یک جواب تقریبی برای یک مسأله کنترل بهینه با قیودی از نوع معادلات انتگرالی ولترا می پردازیم و با کمک مفهوم اپی-همگرایی به اثبات همگرایی جواب تقریبی به جواب اصلی این دسته از مسائل کنترل بهینه می پردازیم.

در این پایان نامه به بررسی وجود جواب برای معادله انتگرالی دوبعدی غیرخطی فردهولم نوع دوم پرداختیم و وجود جواب را برای دو حالت معادله با هسته ی پیوسته مورد بررسی قرار دادیم. معادله ی انتگرالی فردهولم با هسته ی پیوسته را با روش تباهیدگی و همین معادله را با هسته ی ناپیوسته با روش ماتریس توپلیتز حل نموده ایم. برای حل این معادلات مبنای کار بر این اساس قرار دادیم که معادله را به یک دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل کرده و سپس از حل دستگاه, جواب معادله را بیابیم, بدین منظور از توابع دو بعدی گویای هار و توابع شعاعی پایه ای که توابع متعامد یکه هستند استفاده کرده ایم و معادله را در یک دسته از نقاط، درونیابی کرده و آن را به یک دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل نموده ایم. بالاخره برای بدست آوردن جواب معادله انتگرالی مورد نظر دستگاه معادلات را حل کرده ایم

چکیده پایان نامه : این پایان نامه به توسعه وآنالیز یک روش حرکت شبکه تفاضل متناهی برای حل معادلات دیفرانسیل-انتگرال ‏جزئی می پردازد. ابتدا نگاشت وابسته زمانی انتقال مختصات توسط یک چندجمله ای قطعه ای درجه دو در مکان و تابع خطی در زمان تقریب زده می شود‎. روش مفیدی برای گسسته سازی قسمت انتگرالی معادله با توجه به نگرش حرکت شبکه طراحی شده است‏، در هر سطح زمانی یک تقریب قطعه ای ثابت برای انتگرال استفاده می شود. برای مکان روش تفاضل متناهی مرکزی و برای زمان طرح اویلر پسرو استفاده می شود‎?‎ در این پایان نامه ثابت می شود خطا به طور یکنواخت کراندار است و همگرایی روش نسبت به متغیر مکان از مرتبه دو و نسبت به متغیر زمان از مرتبه اول است. در انتها نیز نتایج عددی به منظور تأیید نتایج نظری ارائه شده است.

‏فرمول اویلر-مکلورن توسط اویلر‏ و مکلورن‎‏ حدود 268 سال پیش در اوایل سال ‎1735‏ به طور مستقل کشف شد، این فرمول یک رابطه ی قوی بین انتگرال ها و مجموع فراهم می‏ کند. این رابطه می تواند برای تقریب زدن انتگرال ها توسط جمع های متناهی استفاده شود‏، یا برعکس می توان برای محاسبه ی مجموع های متناهی و سری های نامتناهی از انتگرال ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد.‎ ‏بنابراین این فرمول یک تناظر بین مجموع ها و انتگرال های معین فراهم می کند. اویلر این فرمول را برای محاسبه ی سری های نامتناهی که دارای همگرایی کند می باشند‏، استفاده کرد‏، در حالی که مکلورن این فرمول را برای تخمین زدن مقدار انتگرال ها استفاده کرد. فرمول مجموع اویلر-مکلورن دارای ‏تعمیم ها و بسط های بسیاری می با‎‏شد.‎‎‎ در این پایان نامه چند نوع از تعمیم های فرمول مجموع او‎‏یلر-مکلورن و کاربردهای آنها مورد مطالعه و بررسی قرار خواهد گرفت‎.‎ ‎ در کار پیشگامانه ‎‎‎‏هوگ ‏و همکارانش ‎‎‎‎‏ در سال 1973 یک تعمیم از فرمول ‏مجموع اویلر-مکلورن بر مبنای درونیابی قطعه به قطعه لاگرانژ ساخته شده است. ‏ آنها تعمیم ارائه شده را برای تقریب زدن انتگرال گیری حاصل ضرب در حالتی که یکی از توابع زیر انتگرال هموار و دیگری تکین یا هر دو هموار باشند‏، استفاده کرده اند. سپس از این روش انتگرال گیری عددی برای حل عددی معادلات انتگرالی فردهولم نوع دوم استفاده نموده اند. ‏ما ‎‎‏ و همکاران‎‎‎‎‎ ‎‏ در سال 1996 و ‎آلپرت ‎‎‏ در سال 1999 طرح های مرتبه بالایی برای انتگرال گیری حاصل ضرب ‎با استفاده از تعمیم فرمول مجموع اویلر-مکلورن توسعه داده اند. سایاس در سال 1998 یک تعمیم از فرمول اویلر-مکلورن روی مثلث ها داد و وجود یک بسط مجانبی خطا را برای فرمول انتگرال گیری مرکب روی مثلث ها ثابت کرد. نتایج او مبتنی بر دستکاری ساده مشتقات توابع دو متغیره نسبت به نگاشت‎ های آفین ‎‏و خاصیت های اساسی فضاهای سوبولوف می باشد. ‏ ‎‎ ‎‎ گرزگورز ‎ltrfootnote{ grzegorz rza ‎dkow‎ski}‎‏ و همکاران ‎‎cite{ rzadkowski3}‎‎‏ در سال 2008 یک تعمیم از فرمول مجموع اویلر-مکلورن مبتنی بر توابع برنولی معرفی و از آن برای محاسبه عددی انتگرال های فرمی-دیراک استفاده می کنند. گرزگورز‏ در سال 2009 از تعمیم فرمول مجموع اویلر-مکلورن با افراز بازه انتگرال گیری به زیر بازه های نابرابر برای تقریب انتگرال های تکین استفاده می کند. گرزگورز در این مقاله حالت خاصی از فرمول مجموع اویلر-مکلورن مبتنی بر توابع برنولی را برای تقریب زدن‏، استفاده کرده است. این روش می تواند به عنوان یک تعمیم مستقیم از روش ذوزنقه ای در نظر گرفته شود.

: در این پایان نامه یک روش عددی برای حل مسائل مقدار مرزی کسری چند مرتبه ای با استفاده از موجک های هار ارائه می شود. موجک های هار خانواده ای متعامد از توابع موجی-مستطیلی هستند که روی بازه [0,1] تعریف می شوند. روش عددی مورد نظر بر اساس یک ماتریس عملگر برای انتگرال گیری از توابع هار طراحی شده است که در این جا به شرح جزئیات مربوط به این ماتریس نیز می پردازیم. این ماتریس موسوم به ماتریس عملگر انتگرال گیری هار می باشد. در پایان نبز مثال هایی برای آزمایش درستی طرح عددی موردنظر ارائه شده است.

معادلات دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای وتک مرتبه ای معرفی وقضایای وجود و یکتایی جواب آن ها بیان و اثبات می شود. مشتق کاپوتو در نظر گرفته شده .روش تبدیل معادلات دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای به دستگاه معادلات تک مرتبه ای مطرح گردیده است . روش پیشگو اصلاحگر آدامز برای حل معادلات دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای وتک مرتبه ای بیان می گردد.

این پایان نامه با مروری بر نظریه و کاربرد معادلات انتگرالی و مفاهیم مقدماتی مورد نیاز آن آغاز می شود. در ادامه پایان نامه برخی از روش های عددی برای حل معادلات انتگرالی غیر خطی از نوع آریزن معرفی شده است. این رده از معادلات اغلب کاربردهای بسیاری دارند. در اینجا روش شناخته شده ی نیوتن-کانتورویچ که منجر به حل یک دنباله از معادلات انتگرالی خطی می گردد همراه با روش تربیع برای حل معادلات انتگرالی آریزن به کار بردهشدهاست، که باعث می شود این نوع از معادلات با یک روش منظم و کارا حل شوند. همچنین روش توابع پایه شعاعی همراه با هم محلی برای به دست آوردن جواب عددی معادله انتگرالی از نوع آریزن بررسی می شود که این فن نقش مهمی را در تبدیل معادله انتگرالی به دستگاهی از معادلات بازی می کند. در بخش دیگری از پایان نامه روش هم محلی تکراری را برای معادله عملگر آریزن x=y+kx‎ بررسی می کنیم و با فرض این که x_0 یک جواب تنها از این معادله ‎و x_n‎ یک دنباله از زیر فضاهای تقریبی متناهی البعد از x و p_n‎ یک تصویر کننده ازx ‎ به x_n‎ است روش تصویری را به صورت x_n=p_ny+p_nkx_n‎ و جواب تصویری تکراری را به صورت x ?_n=y+kx_n‎ در نظر گرفته ایم. بالاخره در پایان فوق همگرایی روش هم محلی تکراری بررسی شده است.

مسأله ی حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل تأخیری، یکی از موضوعات مهم در آنالیز عددی به شمار می رود. برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل روش های مختلفی وجود دارد. با اینکه روش های طیفی در حل معادلات دیفرانسیلی به طور قابل ملاحظه ای مورد توجه قرار گرفته اند، تجربه ی اندکی در بکار بردن این روش ها برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل تأخیری موجود است‎. در این پایان نامه روش طیفی هم محلی را برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل تأخیری ولترای خطی بکار می بریم. پایان نامه با مروری بر معادلات انتگرالی و مفاهیم مقدماتی روش های طیفی آغاز می شود، سپس نشان می دهیم که روش طیفی هم محلی مبتنی بر چندجمله ای های لژاندر، منجر به یک روش عددی کارا و بسیار دقیق برای تقریب جواب های معادلات انتگرال-دیفرانسیل با تأخیرات متناسب می شود. نتایج عددی به دست آمده توسط برنامه نویسی میپل نشان داده که روش، از دقت بالایی برخوردار است.

در این پژوهش مجموعه ای از توابع مثلثی متعامد متمم را معرفی نموده ایم که از مجموعه توابع بلاک پالس بدست آمده اند. سپس ماتریس عملگر انتگرال در دامنه توابع مثلثی متعامد محاسبه شده و روابط آن ها با ماتریس عملگر انتگرال دامنه توابع بلاک پالس نشان داده شده است. از توابع مثلثی متعامد برای بدست آوردن جواب معادلات انتگرالی فردهلم خطی نوع دوم و معادلات انتگرالی ولترا - فردهلم غیر خطی استفاده شده است. با استفاده از ماتریس عملگر انتگرال, ضرب دو تابع مثلثی و بعضی از روابط برای محاسبه انتگرال معین مربوط به این توابع مثلثی , معادلات انتگرالی به معادلات جبری تبدیل می شوند که با حل این معادلات جبری می توان جواب معادلات انتگرالی را تخمین زد. چون این روش نیازی به انتگرال گیری ندارد همه محاسبات به آسانی انجام می شوند.

معادله انتگرالی فردهلم نوع اول در بسیازی از مساءل علمی ظاهر می شود که اغلب مسئله ای بد وضع است. یعنی جواب ندارد یا جواب آن منحصر به فرد نیست. یا به طور پیوسته به داده های مسئله وابسته نیست. در این پایان نامه به معرفی و بررسی روش منظم سازی پرداخته ایم که معادله انتگرالی فرد هلم نوع اول را با اضافه کردن یک جمله خطا به معادله انتگرالی فردهلم نوع دوم تبدیل می کند که معادله انتگرالی فردهلم نوع دوم یک مسئله خوش وضع است و روشهای مناسبی برای حل آن موجود می باشد.بدین منظور ابتدا به معرفی اولین روشهای منظم سازی ارائه شده می پردازیم و سپس یک روش منظم سازی را که در سالهای اخیر مطرح شده است را بیان می کنیم.

در این رساله حل رده ای خاص از معادلات با مشتقات جزئی زمان کسری با روش طیفی و شبه طیفی گیگن بائر مورد توجه قرار گرفته است.

می دانیم همنهشتی یکی از مفاهیم نظریه اعداد کلاسیک است. همنهشتی کاربردهای بسیاری در ریاضیات دارد. یکی از این کاربردها در دسته بندی اعداد می باشد. این پایان نامه شامل هفت فصل است که فصل اول و دوم مفاهیم و مقدماتی از همنهشتی کلاسیک و منطق فازی می باشد. فصل سوم مفهوم جدید همنهشتی فازی ارائه گردیده است. از فصل چهارم تا هفتم نیز کاربردهای همنهشتی کلاسیک و همنهشتی فازی بیان گردیده است.

روشهای عددی مانند روش هم محلی، گالرکین و تربیع برای حل معادلات انتگرالی فردهلم در نهایت به حل یک دستگاه معادلات خطی یا غیر خطی جبری منجر می شوند که حل این دستگاهها اغلب از نظر زمانی و دقت در محاسبه جواب با مشکل مواجه می شوند. در این رساله روش هایی ترکیبی را بر مبنای الگوریتم ابتکاری الکترومغناطیس و روش gmres را برای غلبه بر این قبیل از مشکلات در حل این دستگاه معادلات ارائه نموده ایم. الگوریتم های پیشنهادی را با دسته ای از مثالهائی با ابعاد بزرگ و ماتریس ضرایب تنک برای حل دستگاه معادلات خطی بکار گرفته و مقایسه نتایج حاصله را با روش کارای gmres در نظر گرفته ایم. همچنین مثالهائی از دستگاه معادلات غیر خطی با ابعاد بزرگ را حل و نتایج حاصل را با روش های دیگر از قبیل newton-gmres و trust-region مقایسه نموده ایم. بالاخره روشی را به منظور حل معادلات انتگرالی فردهلم غیرخطی پیشنهاد داده و با چند روش جدید دیگر مقایسه نموده ایم. نتایج بدست آمده نشان داده اند که روش های پیشنهادی در این رساله از نظر زمان و دقت در بدست آوردن جواب، کارا هستند.

موضوع این رساله اثبات قضایایی در تبدیلات لاپلاس و تبدیلات معکوس لاپلاس چند بعدی است . تبدیل لاپلاس تابع حقیقی f(x) بصورت f(s)exp(-sx) f(x)dx تعریف می شود همچنین بطور مشابه لاپلاس تابع چند متغیره حقیقی f(x) را با f(s) نشان داده و داریم: f(s)... exp(-s.x) f(x) dx1 ...dxn می خواهیم تبدیلات لاپلاس چندبعدی با تابع اولیه های مختلف که ذیلا به برخی از آنها اشاره می شود را بدست آوریم. f[(1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)1/2]/(x1x2...xn), f[2-6 (1/x1 + ... + 1/xn)2]/(x1x2...xn)1/2, f[(1/x1 + ... + 1/xn)/(x1x2...xn)1/2 و... روش تحقیق بر این اساس است که فرض می کنیم تبدیل لاپلاس یک تابع اولیه معلوم باشد سپس با بکارگیری تابع نتیجه حاصل از آن تحت شرایطی مرتبط با آن با تابع اولیه هایی با آرگومانهای مختلف خواهیم رسید نتایج حاصل نه تنها به توضیح و تکمیل جدول تبدیل لاپلاس دو بعدی منجر خواهد شد، بلکه تبدیلات لاپلاس توابعی را در سه بعدی و چند بعدی که به باور ما فرمولهای جدیدی هستند را ارائه خواهد داد.