در این پایان نامه به دنبال تجزیه ای از رادیکال یک زیر مدول مانندnاز –rمدول m، به صورت اشتراک زیر مدول های اول شناخته شده از mهستیم . برای رسیدن به این مطلب زیر مدول های اول، زیردمدول های اولیه، رادیکال زیر مدول ، ایده آل های اول وابسته، ایده آل های اول وابسته تعمیم یافته ، اول های مینیمال و بستار زیر مدول را تعریف میکنیم. در فصل دوم نشان میدهیم در صورتی که حلقه نوتری وm یک –rمدول مولد متناهی باشد با داشتن ایده آل های اول وابسته رادیکال زیر مدولی مانندnاز –rمدول m میتوان تجزیه اول نرمالی از رادیکال nبه دست آورد. در فصل سوم با کمک ایده آل های اول وابسته تعمیم یافته رادیکال زیر مدول سره nاز –rمدول مولد متناهی mرا به صورت مقطع بستار هایی از زیر مدول ها نشان میدهیم. در فصل چهار با حذف زیر مدول های زاید تجزیه ارایه شده در فصل قبل ،به تجزیه اول نرمالی از رادیکال زیر مدول میرسیم.

فرض کنید m یک مدول باشد در این صورت m را یک مدول ضربی می نامیم هرگاه هر زیر مدول آن به شکل im باشد که در آن i یک ایده ال در r است. زیرمدول سره n از r- مدول m اول نامیده می شود هر گاه به ازای هر r متعلق به r و هر m متعلق به m که rm متعلق به n داشته باشیم m متعلق به n یا r متعلق به m:n باشد...

فرض کنید r یک حلقه جابجایی نوتری و m یک r -مدول باشد. m مکمل شده نامیده می شود هر گاه به ازای هر زیر مدول uاز m مجموعه {v?m? u+v=m} دارای عضو مینیمال باشد. در این پایان نامه ساختار مدول های مکمل شده را روی حلقه های نوتری مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین بعد از تقلیل مسیٍ?له برای حلقه های موضعی نشان می دهیم هر مدول مکمل شده به صورت جمع مدول های رادیکالی مینی ماکس و هم اتمی می باشد که مولفه های رادیکالی به صورت جمع تعداد متناهی مدول های همنواخت است. در نهایت مدول های مکمل شده ضعیف و تکمیل شده را دسته بندی می کنیم.

در این پایان نامه کدهای خطی روی حلقه های خاص مطالعه میشوند. کدهای خطی دوگان متممی معرفی شده وشناسایی میشوند. نیز در مورد کدهای شبه دوری روی حلقه های چند جمله ای با ضرایب در یک میدان متناهی بحث می شود. یک شرط کافی برای اینکه کد p-مولد شبه دوری یک کد دوگان متممی باشد ارایه میشود. نیز یک شرط کافی دیگر برای اینکه کدی 1-مولدی ماکزیمال باشد داده میشود. نشان داده میشود که علیرغم کدهای دوری یک کد 1-مولد ماکزیمال از اندیس 2 شبه دوری برگشت پذیر است اگروفقط اگر خود دوگان باشد. نهایتا شرایط لازم و کافی برای اینکه یک کد شبه دوری 1-مولدی ماکزیمال یک کد دوگان متممی باشد ارایه میشود.

a-مدول m مینی ماکس نامیده می شود اگر یک زیرمدول با تولید متناهی اط آن مانند u موجود باشد بطوریکه m/u آرتینی باشد. در این پایان نامه مدول های مینی ماکس و بعضی کلاس های تعمیم یافته اط آنها را روی حلقه های جابهجایی نوتری مورد بررسی قرار می دهیم.یکی از نتایج اصلی به شرح زیر است:a-مدول m مینی ماکس است اگر و فقط اگر هر تجزیه از تصویر همریخت آن متناهی باشد.از این قضیه نتایج زیر به دست می آید:1.همهی مدول های هم نواخت مینی ماکس هستند. 2.همهی مدول های هم بعد متناهی مینی ماکس هستند. 3.پوشش های اساسی مدول های مینی ماکس مینی ماکس هستند.با استفاده از مطالب بالا ساختار مدول های هم نواخت و هم بعد متناهی را مشخ می کنیم.همچنین شرایط زیر را بررسی می کنیم:1.a-مدول u را که با تولید متناهی است با یک مدول هم اتمی جایگزین میکنیم. 2.a-مدول m/u را که آرتینی است با یک مدول نیم-ارتینی جایگزین می کنیم و نتایج جدیدی را به دست می آوریم.

چکیده: در این پایان نامه کدهای خطی روی حلقه های فروبنیوس براساس یک یکریختی به روی حاصل ضرب حلقه های فروبنیوس موضعی مطالعه شده و براساس این تجزیه نظیر استقلال خطی در کدها بررسی می شود. بویژه کدهای روی حوزه های اصلی و پایه ای برای کدها روی این حلقه ها مطالعه می شوند. نشان داده می شود که پایه برای هر کد روی حوزه اصلی وجود دارد و بعلاوه هر دو پایه به تعداد یکسان عضو دارند. متریک مورد استفاده در این پایان نامه، متریک همینگ است.

در جبر همولوژی بعدهای انژکتیو، پروژکتیو و یکدست نقش مهم و اساسی ای بازی می کنند. در این پایان نامه ما به مطالعه بعدهای گرنشتاین انژکتیو،گرنشتاین پروژکتیو و گرنشتاین یکدست، که در بعضی حالتهای خاص ارتباط تنگاتنگی با بعدهای انژکتیو، پروژکتیو و یکدست معمولی دارند، می پردازیم. نتایج بسیار زیادی در مورد بعدهای گرنشتاین وجود دارد که روی رده های خاصی از حلقه های نوتری، بویژه حلقه های cohen–macaulay که دارای یک مدول dualizing هستند و حلقهn -گرنشتاین توسطxu‎, ‎avramov‎, ‎christensen‎, ‎enochs‎ ‎foxby‎, ‎jenda‎, ‎martsinkovsky و سایرین ثابت شده است. هدف این پایان نامه توسعه و اثبات نتایج نامبردگان و همچنین ارایه ی توصیفی همولوژیک از بعدهای-گرنشتاین انژکتیو، گرنشتاین پروژکتیو و گرنشتاین یکدست، در حالتی است که حلقه مورد بحث یک حلقه شرکتپذیر دلخواه است.

فرض کنید r یک حلقه جابجایی و یکدار و همه مدول ها یکانی باشند. فرض کنید m یک r –مدول و n زیرمدول واقعی آن باشد. n را زیرمدول اول m می نامیم، در صورتی که به ازای هر r متعلق به r و a متعلق به m ، اگر ra متعلق به n ، آن گاه a متعلق به n یا r متعلق (n:m. با فرض p=(n:rm)، آن گاه p یک ایده آل اول است و در این حالت n را یک زیرمدول p –اول می نامیم. در این پایان نامه خواص زیرمدول های اول را مورد مطالعه قرار داده و نشان میدهیم یک زیرمدول p –اول را می توان به صورت اشتراک متناهی یا اجتماعی از زیرمدول های p –اول نوشت. هم چنین رتبه و بعد مدول ها را مورد بررسی قرار داده و در نهایت شرایطی هم ارز برای اینکه یک حلقه یک حلقه ددکیند باشد ارائه می دهیم.

فرض کنید i‎ ایده آلی از حلقه ی نوتری m‎، r‎ یک r- مدول ناصفر i- ‎هم متناهی و n‎ یک r- ‎مدول ناصفر با تولید متناهی باشد. همچنین فرض کنید یکی از شرایط زیر برقرار باشد: 1. dim m?1 2. dim n?2 در اینصورت نشان می دهیم بازای هر i?0‎، r- ‎مدول ext_r^i (n,m)‎، ‎i- هم متناهی است‎.

در این پایان نامه به تعاریف زیرمدول اول، زیرمدول اول ضعیف، مدول ضربی، مدول ضربی ضعیف و قضایای اساسی مربوط به آن ها اشاره شده است. از جمله پاسخ به اینکه تحت چه شرایطی مدول ضربی ضعیف، مدول ضربی است و اینکه چه شرایطی لازم است تا زیرمدول اول ضعیف یک زیرمدول اول باشد و در فصل آخر به آشنایی مختصر در مورد مدول های آرتینی و بررسی زیرمدول های اول مدو لهای آرتینی پرداخته ایم.‎

در این پایان نامه همه حلقه ها جابجایی یکدار و همه مدول ها یکانی هستند. -rمدول m را ضربی می نامیم هرگاه برای هر زیرمدول n از m یک ایده آل i از r موجود باشد به طوری که n = im. ما مدول های ضربی با تولید متناهی را در قالب زیر مدول های مشخصه و مدول های متناهی تصویری دسته بندی می کنیم. به علاوه، یک رده بندی برای مدول های با تولید متناهی ضربی و باوفا بر حسب زیرمدول های کوچک بیان می کنیم. در نهایت برای –rمدول ضربی نوتری m نشان می دهیم که مجموعه ی زیرمدول های اول وابسته ی m با مجموعه ی زیرمدول های اولیه و –m رادیکال از مدول m که در تجزیه ی اولیه می نیمال زیرمدول صفر m ظاهر می شوند، یکی هستند.

فرض کنید ‎$r$‎ یک حلقه ی جابجایی، یکدار، نوتری و ‎$m$‎ یک ‎$r$-‎مدول غیرصفر باشد. بررسی خواص متناهی بودن یا نبودن فانکتور توسیع در جبر همولوژی از اهمیت خاصی برخوردار است. هدف اصلی بررسی روابط بین مدول های هم متناهی، با تولید متناهی و فانکتور توسیع می باشد. فرض کنید ‎$i$‎ ایده آلی از ‎$r$‎ و ‎$m$‎ یک ‎$r$-‎مدول غیرصفر ‎$i$-‎هم متناهی با ‎$dim(m)leq 1$‎ باشد. به طور خلاصه نشان می دهیم اگر ‎$n$‎ یک ‎$r$-‎مدول غیرصفر با تولید متناهی با شرط ‎${ m supp}_r(n)subseteq { m v}(i)$‎ باشد، آنگاه به ازای هر ‎$iin bbb n_0$‎، ‎$r$-‎مدول های ‎${ m ext}^{i}_r}(m,n)$‎ با تولید متناهی هستند. سپس با فرض ‎dim(dfrac{r}{i}) =1‎ نشان می دهیم که به ازای مدول های با تولید متناهی ‎$m$‎ و ‎$n$‎ با شرط ‎${ m supp}_r(n)subseteq { m v}(i)$‎ و به ازای هر ‎$ i,jin bbb n_0 $‎، ‎$r$-‎مدول های ‎$ { m ext}^{i}_r}ig(h^{j}_{_{i}}(m),nig)$‎ نیز با تولید متناهی هستند.

فرض کنید r یک حلقه ی جابه جایی یکدار نوتری و m یک r-مدول یکانی باشد. در این پایان نامه بُعدهای همولوژیکی مدول های کوهمولوژی موضعی آرتینی را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. برای این کار ابتدا مطالبی در مورد مدول های کوهمولوژی موضعی، فانکتورهای تاب و توسیع ارایه می دهیم. سپس بُعدهای انژکتیو و مُسطح را از دیدگاه های متفاوت مورد بررسی قرار می دهیم. بطور خلاصه نشان می دهیم اگر (r,m) یک حلقه موضعی نوتری و m یک r-مدول غیرصفر با تولید متناهی باشد، آن گاه، به ازای هر p? spec(r) ، بُعدهای ?fd?_rp h_prp^(i-dim?(r/p)) (m_p) و ?injdim?_rp h_prp^(i-dim?(r/p)) (m_p) از بالا کراندار هستند. همچنین این کران را برای هر i?dim?(r/p) مشخص می کنیم.

چکیده:در این پایان نامه مدول های گرنشتاین پروژکتیو،انژکتیو و یکدست مورد بحث و بررسی قرار می گیرند.r- مدول m گرنشتاین پروژکتیوضعیف (انژکتیو،یکدست) نامیده می شود هر گاه همبافت دقیقی از r-مدول های پروژکتیو(انژکتیو،یکدست) به فرم ... p^0?p^1? ?p_1?p_0?... موجود باشد بطوریکه (m? ker(p^0?p^1.با استفاده از این مفاهیم رده ای از حلقه ها بویژه،حلقه های شبه- فربنیوس و حلقه هایfcرا رده بندی خواهیم کرد.همچنین، به سوالی از هولم که بیان می کند"آیا روی یک حلقه دلخواه هر مدول گرنشتاین پروژکتیوگرنشتاین یکدست است؟"در برخی حالات جواب مثبت خواهیم داد.

فرض کنیم لاندا ریشه ی-n ام اولیه ی واحد در حلقه ی زنجیری متناهی‎ r ‎باشد. در این پایان‎ ‎نامه نشان می دهیم که کدهای لاندا-ثابت‎ دوری ریشه مکرر روی برخی حلقه های زنجیری متناهی، با کدهای دوری هم ارز هستند. این حقیقت شناسایی کدهای ثابت دوری را تسهیل می کند. همچنین کدهای -ثابت دوری از طول ‎p^s روی حلقه ی گالوای gr(p^e,r) ‎کار دیگری است که در این پایان‎نامه انجام می شود.

در این پایان نامه مدول های قویاً گرنشتاین یکدست که تعمیمی از مدول های گرنشتاین پروژکتیو هستند مورد بررسی قرار می گیرند. نشان می دهیم که روی حلقه های کوهرنت مدول های قویاً گرنشتاین یکدست، گرنشتاین یکدست هستند و اگر fp-id (r)‎، آنگاه r-‎مدول m‎ قویاً گرنشتاین یکدست است اگر و تنها اگر گرنشتاین پروژکتیو باشد اگر و تنها اگر گرنشتاین یکدست باشد. اگر و تنها اگر m in {}^{perp} flat‎. همچنین نشان می دهیم که اگر r‎ یک حلقه n-fc‎ باشد، آنگاه ‎wd(r) leq n‎ اگر و فقط اگر هر r-‎مدول گرنشتاین یکدست، یکدست باشد، اگر و تنها اگر هر ‎$r$-‎مدول قویاً گرنشتاین یکدست، یکدست باشد. سپس نشان می دهیم روی حلقه کوهرنت ‎$r$‎، ‎$|sgfd(m) leq n$‎ اگر و تنها اگر ‎$ext_r^{n+i} (m‎, ‎flat) = 0$‎، به ازای و ‎$i geq 1$‎. نهایتاً نشان داده شده است که اگر ‎$r$‎ یک حلقه کوهرنت و ‎$ sgfd(r) leq n$‎، آنگاه هر ‎$r$-‎مدول دارای یک پری گاور قویاً گرنشتاین یکدست است و اگر ‎$fp-id (r) leq n$‎ آنگاه ‎$ sgfd(r) leq n$‎ اگر و تنها اگر ‎$ fid(r) leq n$‎ اگر و تنها اگر ‎$(sgf‎, ‎i_n)$‎ کوترشن تئوری باشند که در آن ‎$i_n$‎ کلاس ‎$r$-‎مدول های انژکتیو با بعد انژکتیو حداکثر ‎$n$‎ است.‎ ‎

فرض کنید i یک ایده ال از حلقه جابجایی و نوتری r باشد به طوری که ara(i)=t?2.هدف این پایان نامه نشان دادن وجود یک –i رشته صافی منظم y_1,…,y_t برای r می باشد به طوری که ?i=?((y_1,…,y_t)) و cd((y_1,…,y_i ),r)=i برای هر 1?i<t. همچنین نشان می دهیم ara(i)?dim??r+1? که تعمیمی از نتایج کرونکر (1882) می باشد . بعلاوه برخی کاربردها مورد توجه قرار گرفته اند.

در این پایان نامه، نتایج زیر را بررسی خواهیم کرد که تعمیمی از نتایج ملکرسون (1999) می باشند. فرض کنید (r,m) حلقه موضعی نوتری باشد به طوری که r ? روی r صحیح است. فرض کنید i یک ایده آل واقعی از r و a یک rـ مدول آرتینی باشد. در این صورت a مدول i- هم متناهی است اگر و تنها اگر ?(i+?ann?_r )=m. همچنین مثالی ارائه می دهیم که نشان می دهد این مطالب برای حلقه موضعی نوتری دلخواه در حالت کلی برقرار نیست. به عنوان کاربردی از این نتایج، تعمیمی از قضیه لیختنبام ـ هارتشورن به صورت زیر ارائه می دهیم، فرض کنید (r,m) موضعی نوتری و r ? روی r صحیح باشد. فرض کنید i ایده آلی از r و m یک r ـ مدول غیرصفر با تولید متناهی از بعد n باشد. در اینصورت عبارات زیر معادلند: الف) h_i^n (m)?0 ب) ایده آل اول p از a?ssh?_r m وجود دارد به طوری که ?(p+i)=m.

در سراسر این پایان نامه ‏‎r‎‏ را یک حلقه نوتری جابجایی و یکدار و ‏‎m‎‏ را یک مدول با تولید متناهی روی ‏‎r‎‏ در نظر گرفته شده است. این پایان امه در سه فصل نوشته شده که در فصل اول تمامی تعاریف قضایایی را که لازم خواهند بود آورده شده است. فصل دوم و سوم براساس دو مقاله زیر تهیه شده است.فصل دو براساس مقاله زیر:‏‎injective modules and linear growth of primary decompositions‎‏ که توسط ‏‎r.y.sharp‎‏ در سال 1999 نوشته شده و فصل سوم براساس مقاله: ‏‎primary decomposition:compatibity,independence and linear growth‎‏ که توسط ‏‎yongwei yao‎‏ در سال 2001 در جهت تعمیم و همچنین ارائه برهانهای کوتاه برای مقاله ‏‏‎r.y.sharp، نوشته شده است در واقع قضیه اصلی که ‏‎r.y.sharp‎‏ در مقاله خود اثبات کرده همین قضیه را ‏‎yongwei yao‎‏ به عنوان نتیجه ای از قضایای اصلی خود بیان کرده است.