معادله برگرز مرتبه اول یک معادله دیفرانسیل پا ره ای غیر خطی است که حالت ساده شده ای از معادلات ناویر استوکس است. معادله برگرز به معادله مدل معروف است و از این رو اهمیت آن مشهود به نظر می رسد. معادله برگرز دارای انواع متفاوت است که هر کدام دارای کاربردهای مخصوص به خود است. این پایان نامه بر روی معادله برگرز مرتبه اول جوابهای تحلیلی و جوابهای عددی بحث می کند. حل تحلیلی این معادله شامل حل سالیتونی آن است که با معرفی دو عنصر اساسی جواب گامهای حل مساله را پیگیری می کند و سپس کاربرد آن را در معادله برگرز مشاهده می کنیم و نهایتا جواب سالیتونی جدید برای معادله برگرز بدست می آوریم .روشهای عددی بکار رفته شامل دو روش عددی 8 نقطه ای و روش عددی 12 نقطه ای از روشهای مولتی سیمپلکتیک است .با در نظر گرفتن مقادیر متفاوت از پارامترهای جواب سالیتونی مقایسه ای با دو نوع جواب عددی 8 نقطه ای و 12 نقطه ای صورت می گیرد که نتایج نرم دو و نرم بی نهایت خطای حاصل از مقایسه در جداول وجود دارد.

فرود آرام یا فرود بر روی سطح ماه با سرعت تقریبا صفر یک اصل اساسی در فرود سفینه ها بر روی سطح ماه می باشد. تعیین یک قاعده و دستور العمل راهبردی بمنظور هدایت فرود آرام یک ماه پیما از یک نقطه اولیه، همواره از از اهمیت قابل توجهی برخوردار بوده است. نشان داده شده است که چنین قاعده ای بصورت بهینه از حل یک مدل کنترل بهینه مرتبط قابل دستیابی است. هدف اصلی این پایان نامه ، ارایه یک روش حل جدید بر مبنای خواص اندازه هاست که ضمن کمینه سازی میزان سوخت مصرفی، فرآیند فرود آرام را به بهترین صورت ممکن ارایه نماید. نشان داده شده است که چگونه روش از توانمندی های نظری در خصوص اثبات وجود جواب و چگونگی دستیابی به جواب بهینه بصورتی بسیار ساده و از طریق حل یک مساله برنامه ریزی خطی برخوردار است. همچنین با بیان یک تعمیم کاربردی از روش نشاندن، تعیین فرآیند فرود آرام ماه ئیما با هدف کمترین زمان انجام ماموریت نیز حاصل شده است.

علیرغم وجود تمام ناهنجاری های ژنتیکی قطر یا ضخامت تومورهانمی تواند بیش از یک یا دو میلیمتر شود، زیرا دیگر نمی تواند با تکیه به رگ های خونی میزبان ، غذا و و اکسیژن مورد نیاز خود را تامین کند و مجبور به افزایش سیستم مویرگی خود می شود. لذا به طور طبیعی تومور برای رشد خود اقدام به رگ زایی می کند. یکی از بهترین راه های درمان و توقف این عمل، استفاده از بازدارنده های رگزایی می باشد. انجام بهینه این فرایند می تواند بصورت یک مسئله کنترل بهینه فرمول بندی شود. در این پایان نامه ضمن تشریح مدل ریاضی رگزایی تومور، ابتدا به بیان یک راه حل کلاسیک مطابق اصل بیشینه پونتریاگین و خواص کنترل های تکین پرداخته شده است.آنگاه برای اولین بار به تعیین طرح بهینه درمان از روش نشاندن و تعمیم آن به مسئله زمان بهینه درمان پرداخته می شود. مباحث این پایان نامه با بیان تاریخچه و و اهداف مورد نظر به صورت مختصر در فصل اول آغاز می شود. سپس جهت فهم بیشتر در فصل دوم و سوم، به ترتیب مفاهیم مورد نیاز پزشکی و ریاضی بیان می شود.

هدف اصلی این پایان نامه ارایه بررسی و تحلیل برخی شیوه های بهینه سازی انرژی از طریق حل یک مساله کنترل بهینه تصادفی با تابع هدف درجه دوم می باشد.

ضمن معرفی روش شکل-اندازه، هدف اصلی این پایان نامه تعیین یک الگوریتم بهینه سازی کارا جهت کاربری در این روش است. نظر به کاربرد وسیع معادلات بیضوی با کنترل مرزی، پس از بررسی های لازم به انتخاب تعدادی از الگوریتم های مناسب جهت کاربری روش شکل-اندازه در مسائل طراحی شکل بهینه این نوع سیستم ها اقدام گردید. آنگاه در فرآیندی اجرایی به مقایسه توانایی و نتایج حاصل از اجرای آنها پرداخته شد و دو الگوریتم مناسب جهت این امر معرفی گردید. همچنین در این پایان نامه به بررسی توانایی روش شکل-اندازه به منظور حل مسائل کنترلی بیضوی با حضور مانع نیز پرداخته شده است؛ با استفاده از اطلاعات حاصل دو دسته مسائل شکل بهینه هدایت شده با معادلات بیضوی و با حضور مانع نیز حل گردیده اند.

یکی از مهمترین روش های تجزیه برای حل برخی مسائل با مقیاس بزرگ، روش تجزیه ی بندر است که کاربرد گسترده ای در مسائل محدب و غیر محدب دارد. این پایان نامه ضمن معرفی و تشریح الگوریتم تجزیه بندر، برای اولین بار از آن در حل برخی مسائل بهینه سازی با کارایی بالا استفاده شده است. این مسائل که عبارتند از مکان یابی مراکز توزیع، تعادل کاربر و تعادل کاربر تصادفی از مبحث تخصیص ترافیک و تخصیص بهینه ی بودجه جهت بهسازی جاده ها. انجام این امر همراه با ابتکارات و نوآوری هایی بوده است. از مقایسه ی نتایج حاصل با سایر روش ها، نشان داده شده است که این شیوه دارای مزایایی از جمله کاهش زمان محاسبات و کاهش پیچیدگی محاسبات همراه با برخورداری از دقت لازم می باشد.

ابتدا تعمیمی از اصل بیشینه سازی پونتریاگین در افق نامتناهی که توسط اسیو و کریاژیمسکی ارایه شده است, تشریح گردید. نظر به کاربرد وسیع مسائل کنترل بهینه با افق نامتناهی در اقتصاد, بر مبنای این روش برای اولین بار به حل چندین مساله از رشد اقتصاد بهینه, مرتبط با انباشت سرمایه, مصرف و سرمایه گذاری بهینه, اقدام شد. سپس مدل رشد اقتصادی لوئیس سرون معرفی و کالیبره کردن آن در اقتصاد ایران (سال های 1385-1415) انجام پذیرفت. به دنبال آن, با بکارگیری روش اسیو و کریاژیمسکی, به تعیین سرمایه گذاری بهینه به منظور بیشینه سازی رفاه اجتماعی اقدام و نتایج و تحلیل های حاصل ارایه شده اند.

پس از تشریع و بررسی نحوه پیاده سازی الگوریتم هایی جهت حل مسائل برنامه ریزی خطی نیمه نامتناهی (lsip)، برای اولین بار در این پایان نامه سه الگوریتم براساس صفحه برش برای حل مسائل lsip در حالتی که قیود آن فازی است، معرفی می گردند. اولین الگوریتم برمبنای روش توابع مرتب کننده طراحی شده است. در هر تکرار این الگوریتم، یک برش با اضافه شدن یک قید فازی ایجاد می گردد. در دومین الگوریتم از روش زیمرمن استفاده می شود. در هر تکرار سومین الگوریتم مسئله ای قطعی با استفاده از نظریه دوگان ایجاد و حل می گردد. همگرایی الگوریتم ها اثبات، کارایی آنها با استاده از حل چندین مثال آزمونی نشان داده شده و در نهایت نتایج حاصل برای مسئله کنترل آلودگی هوا نیز اجرا شده است.

در این پایان نامه سه مدل ریاضی توصیف کننده فرآیند رگ زایی تومور، مورد بررسی قرار گرفته است. کمینه سازی حجم سلول های تومور در بازه ی زمانی براساس مدل های مذکور، به صورت مسئله ای از نظریه کنترل بهینه در نظر گرفته شده است. آن گاه با استفاده از ابزارهای این نظریه، راهکارهای درمانی بهینه را برای چگونگی مصرف دارو در طول دوره ی درمان جستجو نموده ایم. از اصل بیشینه سازی پونتریاگین (pmp)، شیوه های درمان ثابت، روش گسسته سازی avk و روش نشاندن برای ارائه این طرح های درمان بهینه بهره گرفته شده است. راهکار ارائه شده از روش گسسته سازی avk، برخی از راهکارهای درمانی با دوز ثابت و راهکار ترکیبی نشاندن-pmp برای اولین بار بررسی شده اند. نتایج عددی نشان داده اند که شیوه های درمانی بهینه حاصل، علاوه بر برآورده ساختن هدف، دارای قابلیت اجرایی بالینی نیز می باشند. نشان داده شده است که برجسته ترین آنها روش گسسته سازی avk می باشد؛ زیرا قادر است دوزهای دارویی را در بازه های زمانی مورد نظر ثابت مشخص نماید و این بیشتر با خواست پزشکان در اجرای بالینی است.

در این پایان نامه ضمن معرفی ویروس و عفونت hiv، که شامل راه های سرایت، نحوه تشخیص و درمان آن می باشد، ابتدا یک مدل ریاضی برای نحوه ی عملکرد عفونت hiv در بدن، مورد بررسی قرار گرفته است. از آن جا که علاوه بر درمان مناسب، همواره جلوگیری از بروز مقاومت دارویی، از اهمیت ویژه ای برخوردار است، با توجه به مدل مذکور و دانش نظریه ی کنترل بهینه، راهکارهای درمانی برای نیل به این هدف، بر اساس چگونگی مصرف دارو در طول دوره درمان را جستجو نموده ایم. بدین منظور، روش های pmp (اصل بیشینه پونتریاگین)، sti، رویکرد شبکه های عصبی و یک روش گسسته سازی، برای حل مسأله کنترل بهینه عفونت hiv ارائه شدند (در بین آن ها روش های گسسته سازی و شبکه های عصبی برای اولین بار ارائه گردیده است). نتایج عددی نشان می دهند که راهکارهای درمانی حاصل، علاوه بر قابلیت اجرایی، قادر به برآورده ساختن هدف مورد نظر نیز می باشند؛ در میان این راهکارها، رویکرد شبکه های عصبی، نتایج مطلوب تری را در پایان دوره درمان از نظر تحلیلی و تطابق با تجربه پزشکان بدست می دهد.

مدیریت منابع آب را می توان مجموعه ای از تمهیدات فنی، اداری و قانونی دانست که هدف آن برقراری تعادل میان میزان عرضه و تقاضای آب است. از جمله مسایل مهم در مدیریت منابع آب، کمینه کردن فرصت های از دست رفته ی اقتصادی کاربران مرتبط با منبع آب می باشد. کاربران یک منبع آب در استفاده از آب در رقابت هستند. در این رابطه با توجه به اهداف آن منبع و کاربری های مورد نظر آن در منطقه، سیاست تخصیص آب اتخاذ می گردد. اما اگر سیاست کلی کمینه کردن فرصت های اقتصادی از دست رفته ی کاربران منبع آب باشد، آنگاه با یک مسئله ی چندهدفی مواجه می شویم که اهداف آن در رقابت هستند. نظر به پویایی سیستم منابع آب، برنامه ریزی پویا یکی از موفق ترین روش ها در حل مسائل منابع آب می باشد. برای حل این مسئله، ابتدا مروری بر تحقیقات گذشته داریم. پس از آن برای کاهش محاسبات یک استراتژی مفید ارائه شده و نیز مطالعه ی موردی بر روی سد درودزن انجام گرفته است.

در این پایان نامه یک مدل کلی برای رشد سلول های تومور که روی گونه ای خاص از سرطان تمرکز ندارد، مورد بررسی قرار گرفته است. این مدل یک سیستم از معادلات غیر خطی است که بر پایه رقابت بین سلول های نرمال، تومور و ایمنی می باشد و اثر شیمی درمانی را نیز شامل است. به منظور کمینه سازی سلول های تومور و دوز داروی استفاده شده در طول درمان، راهکار مهار سرطان به صورت مسئله ای از نظریه کنترل بهینه در نظر گرفته شده است. به منظور ارائه یک روش مهار پیوسته زمانی، از روش $ ltv $، روش های تحلیلی-تقریبی $ dtm $، $ mdtm $ و روش جدید ترکیبی $ ltv $ و $ mdtm $ برای ارائه طرح های درمان بهینه بهره گرفته شده است. نتایج عددی نشان داده اند که کاراترین آن ها روش ترکیبی $ ltv $ و $ mdtm $ می باشد؛ زیرا در این روش علاوه بر غلبه بر مشکلات کار با سیستم های غیر خطی به کمک تقریب های در نظر گرفته شده در روش $ ltv $ می توان با روش $ mdtm $ خطای حاصل این تقریب ها را تا حدود زیادی کاهش داد.

در این پایان نامه یک روش حل مسائل مقدار اولیه و مرزی با استفاده از شبکه های عصبی ارائه شده است. پاسخ آزمونی معادله دیفرانسیل، به صورت جمع دو عبارت نوشته می شود؛ عبارت اول شرایط اولیه مرزی را برمی آورد و شامل هیچ پارامتر تنظیم پذیری نیست، عبارت دوم اثری بر شرایط اولیه مرزی ندارد و شامل یک شبکه ی عصبی پیش خور با پارامترهای تنظیم پذیر است، با توجه به این ساختار شرایط اولیه برآورده شده و با آموزش شبکه معادله ی دیفرانسیل نیز برآورده می شود. این شیوه عمومی می باشد و می توان آن را برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی به کار برد.

در این پایان نامه راه حل دسته ای از مسائل کنترل بهینه غیرخطی با داده های چندجمله ای را مورد بررسی قرار می دهیم. منظور از داده های یک مساله کنترل بهینه غیرخطی، معادله دیفرانسیل حاکم بر آن، تابع هزینه و قیدهای کنترل و حالت می باشند. با استفاده از اندازه های تصرفی، یک ساختار ساده از نامساوی های ماتریس خطی که مقادیر بهینه آن ها یک دنباله غیر نزولی از کران های پایین روی مقدار بهینه تشکیل می دهند، معرفی می شود. این دنباله تشکیل شده به مقدار بهینه مساله همگراست. سپس روش نشاندن شرح داده خواهد شد و در پایان با ارائه چند مثال عددی این دو روش مورد مقایسه قرار خواهند گرفت.

در این راستا، هدف پایان نامه حاضر معرفی روش ضریب ناسازگاری موضعی در تعیین داده های ناسازگار قطعی همراه با ارائه گسترشی از این روش برای تعیین ناسازگارها در پایگاهی از داده های فازی است.

‏در سال های اخیر حسابگان کسری و کاربردهای آن در فرآیند های فیزیکی مورد توجه قرار گرفته است. نظر به کاربرد جدید این مباحث در مسایل کنترل بهینه‏، در این پایان نامه روش هایی برای حل دسته ای از مسایل کنترل بهینه ی متناهی و نامتناهی که توسط یک سیستم بر حسب مشتق کسری هدایت می شوند‏، ارایه و بررسی شده اند. برای این دسته مسایل در افق متناهی‏، ابتدا ماتریس های عملیاتی حاصل از به کارگیری چند جمله ای های متعامد لژاندر و چبیشف را معرفی و محاسبه می کنیم. سپس‏ تقریب های لازم توسط این چند جمله ای ها‏ انجام می گیرد. درنهایت مساله به یک سیستم از معادلات جبری تبدیل می شود که با حل این سیستم جواب مساله ی اصلی حاصل می شود. هم چنین برای حل مساله در حالت نامتناهی از ماتریس عملیاتی لاگر و تقریب های لازم توسط این چند جمله ای ها استفاده شده است. علاوه بر اثبات همگرایی روش‏، مثال های عددی مختلفی برای درجات متفاوت کسری و چند جمله ای های تقریب کننده ارایه گردیده است. نتایج حاصل در مقایسه با یکدیگر و هم چنین با نتایج حاصل از اصل بیشینه ی پونتریاگین‏، نشان دهنده ی صحت و دقت عمل روش های ارایه شده است.

داده های عددی را می توان به دلیل در برداشتن عمده ی اطلاعات سازمان ها، به ویژه در مسایل مالی، رکن اصلی آن ها تلقی کرد. به همین دلیل، وجود داده های کامل و بی نقص نقش مهمی را در عملکرد صحیح و حیات سازمان ها و مراکز مالی و تجاری ایفا می کند. از طرفی به دلایل بسیار از جمله خطای بشر و عوامل محیطی، امکان از دست رفتن برخی مقادیر در پایگاه داده ها و ناقص شدن اطلاعات، قابل پیش بینی است. به این منظور، تلاش برای یافتن راه هایی که بتوان داده های از دست رفته را بازیابی کرده و یا با دقت بسیار تخمین زد، امری ضروری است. در این پایان نامه، یک روش تخمین مقادیر گم شده با دقت بالا نسبت به روش های معمول، بر پایه ی الگوریتم معروف و پرکاربرد خوشه بندی c-میانگین سخت و فازی معرفی و برای یک مجموعه داده ی واقعی حسابداری پیاده سازی شده است. برای این منظور، ابتدا ضمن معرفی خوشه بندی و انواع و روش های آن، الگوریتم های c-میانگین سخت و فازی بررسی و پس از بیان مفاهیمی از علم حسابداری، نحوه ی عملکرد و نتایج حاصل بر داده هایی عملیاتی از این نوع، ارزیابی شده است. در این میان با توجه اهمیت عملکرد، برای تعیین داده ی ناسازگار و تعداد بهینه ی خوشه، روش های معتبری به کار گرفته شده است. آن گاه روش بهینه ی کامل که با تعمیم روش خوشه بندی ذکرشده به دست می آید، معرفی گردیده و بر روی یک مجموعه ی واقعی از داده های حسابداری مربوط به فرآیندهای مالی چند شرکت پیاده سازی شده است. سپس با مقایسه ی نتایج به دست آمده از این روش و تخمین مقادیر گم شده حاصل از دو روش آماری معمول، مزایای این روش نشان داده شده است.

عدم شناسایی داده های نامتعارف در مجموعه داده ها، در اغلب موارد باعث بروز نتایج نادرست و غیر منطقی می شود؛ لذا تشخیص درست این نوع داده ها بسیار اهمیت دارد. روش انتگرال همبستگی موضعی (loci) یکی از روش های کارآی مبتنی بر تراکم برای تشخیص داده های نامتعارف در مجموعه داده های قطعی است. در این روش داده ای نامتعارف است که تراکم آن نسبت به تراکم همسایگان خود به میزان قابل توجهی کمتر باشد. روش بر روی داده های واقعی مربوط به سرطان برای تشخیص تومور های بدخیم پیاده سازی شده است. هم چنین با استفاده از مفاهیم فازی، با معرفی یک متریک جدید برای اندازه گیری فاصله میان دو داده فازی مثلثی در ابعاد بالا (که هر بعد آن یک عدد فازی مثلثی است) ، ضمن تعمیم روش فوق به منظور تشخیص داده های نامتعارف فازی با ابعاد بالا، کارآیی روش جدید نیز مورد بررسی قرار داده شده است. هم چنین با انجام آزمایش های عددی، نتایج حاصل از پیاده سازی روش بر روی مجموعه داده های فازی مورد تحقیق و بررسی قرار گرفته است.

یکی از ارکان اصلی دانش داده کاوی، شناسایی داده های ناسازگار در مجموعه ی داده ها است. این پایان نامه به بررسی موضوعی روش شناسایی داده های ناسازگار در بعد زیاد بر مبنای شناسایی در زیرفضاهای موازی-محور (sod)، که در ابعاد بالا از کارایی نسبتا خوبی برخوردار است، اختصاص دارد. از دلایل برتری این روش آن است که در این روش در ابعاد بالا، داده های ناسازگار می توانند خیلی از دیگر داده ها فاصله بگیرند. این روش، یک روش موضعی است که ناسازگار بودن داده ها را بر اساس زیرمجموعه ای از کل داده ها بررسی می کند. پس از معرفی و بررسی روش، آن را بر روی داده های قطعی مربوط به تومور اجرا و نتایج مورد تحلیل قرار می گیرد. تحلیل پایداری روش مذکور با روش های مشابه دیگر نیز مقایسه شده است. روش مذکور برای شناسایی داده های فازی ناسازگار نیز گسترش داده شده است. برای این منظور، 4 آزمون براساس سه نوع متریک متفاوت، انجام شده است. بدین ترتیب برای هر سه آزمون اول، توسط نرم افزار متلب r2010a v7.14.0.739، تعداد 100 داده ی فازی مثلثی متقارن نرمال به طوری تولید شده اند که تعداد 5 داده ی آخر آن، داده ی ناسازگار است. پس از اجرای الگوریتم براساس سه نرم متفاوت، در بهترین حالت از پارامترهای مورد استفاده در الگوریتم، تمامی 5 داده ی ناسازگار به درستی شناسایی شده اند. در آزمون چهارم توسط نرم افزار متلب r2010a v7.14.0.739، تعداد 200 داده به گونه ای تولید شده اند در حالی که اطلاع دقیقی از تعداد داده های ناسازگار نداریم. سپس الگوریتمsod برای مجموعه داده های فازی بدون آگاهی از تعداد داده های ناسازگار، اجرا شده است. آزمون های عددی نشان دادند که در شناسایی داده های ناسازگار از یک مجموعه ی فازی تصادفی، اعم از آگاهی یا عدم آگاهی از داده های ناسازگار، الگوریتم تعمیم یافته با موفقیت عمل کرده است. همچنین کوتاه بودن زمان اجرای برنامه در استفاده از هر سه نرم از مزایای مهم الگوریتم تعمیم یافته است

‏‎در این پایان نامه راهکاری برای یافتن مکان بهینه ایستگاه های آتش نشانی با استفاده از برنامه ریزی چندهدفه فازی معرفی شده است. ابتدا یک مدل چندهدفه معرفی شده و سپس با استفاده از یک تصمیم فازی مساله به یک مساله ‎m‎in-‎m‎ax‎ ‎‎‎ تبدیل شده است. دو الگوریتم تکاملی ژنتیک و ازدحام ذرات برای ‎‎‏یافتن پاسخ های مساله حاصل به کار گرفته شده اند. به عنوان مطالعه موردی نتایج عددی حاصل از به کارگیری روش ارایه شده برای مکان یابی بهینه ایستگاه های آتش نشانی شهر شیراز ارایه شده است.

در این رساله روش شکل-اندازه برای حل رده هایی جدید از مسایل طراحی شکل بهینه در سه بعد گسترش یافته است. به این منظور ابتدا به بیان کلی شیوه تعیین شکل بهینه ی اجسام دوار و متقارن توسط این روش در حالت دو بعدی خواهیم پرداخت. در این حالت جسم مجهول، در اصل دوران یافته ی یک منحنی پیوسته، هموار و ساده حول یک محور معین است. در گام بعد برای طراحی اجسام در حالت کلی و حتی بدون فرض تقارن جسم، روش شکل-اندازه را گسترش داده و جسم مجهول سه بعدی را به طور مستقیم به دست می آوریم. ابتدا در فصل سوم به تبین رویه ی مجهولی می پردازیم که سایه ی آن در صفحه ی (r,?)، ناحیه ی مشخص d است. آنگاه در چهارمین فصل علاوه بر مجهول بودن رویه، به تبین آن جسم بهینه ای می پردازیم که قسمتی از مرز سایه آن نیز مجهول است؛ تعیین چنین جسم بهینه ای طی دو گام صورت می گیرد: در گام اول برای دامنه ی ثابت، رویه ی بهینه تعیین می گردد. سپس با استفاده از نتایج گام پیشین و تعریف یک تابع مناسب، تصویر بهینه و رویه ی بهینه ی متناظر با آن به طور هم زمان تعیین می گردند. در ادامه ی این روند به حل یک مساله ی کاربردی یعنی تعیین دامنه ی میرایی یک موج میرا در بعدهای دو و سه بر مبنای روش های ارایه شده پرداخته می شود. فصل پایانی نیز اختصاص به بیان نتایج و ارایه ی ایده های تازه در خصوص چگونگی ادامه ی این نوع تحقیق دارد.

چکیده ندارد.

تعیین همزمان زوج بهینه مسیر و کنترل برای سیستم های کنترلی برای دامنه های دلخواه، از اهمیت قابل توحهی برخوردار است. لیکن کمتر روش های حل شناخته شده قادر به انجام چنین امری هستند. هدف اصلی ما اریه یک روش حل ترکیبی جدید برای تعیین همزمان این زوج بهینه در مورد سیستم های متضمن معادله موج دو بعدی با شرایط اولیه و مرزی در دستگاه مختصات قطبی است. روش حل ترکبیی مذکور، بر مبنای فرم جواب کلاسیک معادله موج و استفاده از روش نشاندن طراحی شده است.ابتدا با در نظر گرفتن شرایط حاکم بر مساله، جواب معادله موج به صورت یک سری مثلثاتی متناهی با ضرایب مجهول در نظر گرفته می شود وسپس بر پایه آن، مساله مطابق روش نشاندن به مساله ای از نوع بهینه سازی در فضای اندازه ها مبدل می گردد. آنگاه با انجام مراحل تقریب سازی، جواب مساله اصلی توسط جواب یک مساله برنامه ریزی خطی متناهی تعیین می شود که با استفاده از آن به صورت همزمان زوج مسیر و کنترل تقریبا بهینه حاصل می گردد. در این راستا با مروری بر تحقیقات پیشین، ابتدا موضوع برای معادلاتی با دامنه دایره ای شکل و شرایط اولیه ای که صرفا بر اساس متغیر r در دستگاه مختصات قطبی می باشد، بحث می گردد؛ سپس بر مبنای نتایج حاصل، شیوه حل به معادلات با شرایط اولیه کلی و در ادامه برای دامنه دلخواه توسیع می یابد. در هر گام وجود جواب به اثبات رسیده و با ارایه مثال های عددی مزایا و نتایج روش بیان می گردد.