در این رساله به بررسی خواص متناهی بودن مدولهای کوهمولوژی مو ضعی می پردازیم. دو مقوله ی مهم مد نظر ما یکی هم متناهی بودن این مدولها و دیگری متناهی بودن مجموعه ی ایده آلهای اول وابسته ی این مدولهاست. از نقطه نظر هم متناهی بودن این مدولها ثابت کرده ایم که اگرi ایده آلی از حلقه ی نو تری r و m یک -r مدول با تولید متناهی باشد بقسمی که dim(m/im)=1 آنگاه تمامی مدولهای کوهمولوژی m نسبت به ایده آل i ، -i هم متناهی هستند که این نتیجه تمامی مطالب قبلی را تعمیم میدهد. بعلاوه از نقطه نظر متناهی بودن مجموعه ی ایده آلهای اول مدولهای کو همولوژی موضعی ، ثابت کرده ایم که اگرi ایده آلی از حلقه ی موضعی و نو تری r و m یک -r مدول با تولید متناهی باشد بقسمی که dim(m/im)=2 آنگاه تمامی مجموعه ی ایده آلهای اول وابسته ی تمامی مدولهای کوهمولوژی m نسبت به ایده آل i متناهی هستند . در بخش دیگری از این رساله برخی شرایط جزئی معادل برای متناهی مولد بودن مدولهای کو همولوژی مو ضعی نسبت به ایده آل ماکزیمال یک حلقه ی مو ضعی و نوتری ارائی می دهیم . در بخش دیگری از رساله به اثبات نا متناهی بودن مجموعه ی ایده آلهای اول وابسته ی دوگان ماتلیس مدولهای کوهمولوژی مو ضعی نسبت به بعضی از ایده آلهای یک حلقه ی موضعی و نوتری می پردازیم. در بخش پایانی رساله کرانهای بالا و پایینی برای رتبه ی حسابی ایده آلهای یک حلقه ی نوتری ارائه می دهیم.

در این مقاله نتایجی روی یک حلقه نوتری و موضعی و تام از مشخصه عدد اول p که در آن نگاشت فروبنیوس متناهی است، بدست می آوریم. با تحدید فانکتور دوگانی ماتلیس یک هم ارزی بین کاتگوری مدول های چپ روی حلقه چندجمله ای اریب فروبنیوس که به عنوان r-مدول آرتینی هستند و کاتگوری مدول های راست روی حلقه چندجمله ای اریب فروبنیوس که به عنوان r-مدول نوتری هستند، بدست می آوریم. سپس زیرمدول های پوچساز خاص یک مدول چپ روی حلقه چندجمله ای اریب فروبنیوس را معرفی می کنیم و این مفهوم را در مورد مدول کوهمولوژی موضعی بالایی بکار می بریم و نتیجه می گیریم که اگر r حلقه ای کوهن-مکالی باشد، آنگاه عنصر محک پارامتری ضعیف وجود دارد.

برای حلقه های موضعی و نوتری و مدول های با تولید متناهی با استفاده از خواص شبه محمل به بررسی مکان هندسی غیر کوهن مکالی مدول تحت شرایط زنجیری بودن و خالص بون حلقه خارج قسمتی خاص و شرط سر می پردازد.

دز قسمت اول فرض بر این است که r یک حلقه نوتری و m یک r- مدول با تولید متناهی است. برای عدد صحیح t اگر مدول کوهمولوژِی موضعی h^i_a m نسبت به ایده آل a برای هر i<t باتولید متناهی باشد انگاه رابطه ی یکریختی بین h^i_a m/xm و حاصلجمع مستقیم h^i_a m و h^i+1 _a m برای هر عضو a- فیلتر منظم ط واقع در یک توان به اندازه کافی بزرگ از a و هر i<t-1 برقرار است. در قسمت دوم فرض بر این است که (r,m) یک حلقه موضعی نوتری کوهن - مکالی تعمیم یافته باشد.هدف پاسخگویی به سوالات زیر است آیا برای هر ایده آل پارامتری q واقع در یک توان به اندازه کافی بزرگ از ایده آل m گزارههای زیر برقرار می باشند؟ 1) اندیس تحویل پذیری n q;m مستقل از انتخاب q است و 2) i^2=qi که در آن i=q:m.

برای یک حلقه نوتری و موضعی و جابه جایی r و r-مدول های مفروض l و l ویژگی های فانکتورهای( -,tor-i (l و (-,ext^i (l را بررسی می کنیم.برای مثال برقراری گزاره های زیر را ثابت می کنیم: 1)اگر l و l آرتینی باشند، آنگاه (tor-i(l,l و(ext^i (l,l به عنوان ^r-مدول به ترتیب آرتینی و نوتری هستند. 2)اگر l آرتینی و l بازتابی ماتلیس باشد، آنگاه(ext^i (l,l و (ext^i (l,l و(tor-i(l,l بازتابی ماتلیس هستند. همجنین در این پایان نامه رفتار فانکتورهای مذکور را در رابطه با صفر شدن آنها مورد بررسی قرار داده و دلایل محکمی را برای اثبات نتایج ارائه می دهیم.

گرنشتاین انژکتیو بودن مدول های کوهمولوژی موضعی خاص رابررسی می کنیم

فرض کنیم ‎ (r‎, ‎m)‎ یک حلقه ی موضعی، نوتری و گرنشتاین ‎ n -‎بعدی باشد. برای هر ایده آل سره ی ‎ i ‎ از ‎ r ‎ با ‎grade(i)=c ، ثابت عددی ‎ au _{i‎, ‎j}(i) ‎ را به عنوان بعد سوکل ‎ h _{fm}^{i}(h _i^{n-j}(r)) ‎ تعریف می کنیم. درحالتی که ‎ r ‎ موضعی منظم بوده و شامل یک میدان باشد، این اعداد همان اعداد لیوبزنیک ‎ lambda _{i‎, ‎j} (r /i) ‎ می باشند. اگر‎ d = dim ‎(r /i‎‎) ‎، آن گاه از نماد ‎ au _{d‎, ‎d}(i) ‎ برای توصیف پوشایی همریختی طبیعی ‎ f‎ :‎widehat{r} longrightarrow hom_{widehat{r}} (h _{iwidehat{r}}^{c}(widehat{r})‎, ‎h _{iwidehat{r}}^{c}(widehat{r})) ‎‎‎ استفاده می کنیم. یادآوری می شود که حلقه ی ‎ hom_{widehat{r}} (h _{iwidehat{r}}^{c}(widehat{r})‎, ‎h _{iwidehat{r}}^{c}(widehat{r})) ‎ در حالات خاص توسط هاچستر و هونیکی و شنزل قبلاً مورد مطالعه قرار گرفته بود. در این پایان نامه علاوه بر همریختی بالا، همریختی های طبیعی دیگر را نیز مورد مطالعه قرار می دهیم. در آخر، نتایجی در مورد ‎ au _{i‎, ‎j}(i) ‎ به دست می آوریم.

فرض کنیم ( r , m) حلقه ای موضعی و نوتری و i ایده آلی از r باشد. همچنین فرض کنیم m یک r–مدول با تولید متناهی از بعد d باشد.d-امین کوهمولوژی موضعی m نسبت به i را با علامت (h_i^d(m نشان می دهیم.با توجه به دوگان ماتلیس، واضح است که اگر r کامل و p ایده آل اولی از r باشد کهann_r(h_i^d(m))?p، آنگاه خاصییت ann_r(0:_{h_i^d(m)}p)=p برقرار است. به هرحال این خاصیت درحالت کلی برقرار نیست. دراین پایان نامه، علاوه بر مطالب دیگر، ضمن مطالعه خاصیت بالا به بررسی کاتنری بودن حلقه (((r/(ann_r(h_i^d(mو چندگانگی (h_i^d(m می پر دازیم و مجموعه های(att_r(h_i^d(mو (cos_r(h_i^d(mرا مشخص می کنیم. هم چنین نشان خواهیم داد که اگر خاصیت بالا برای(h_i^d(m برقرار باشد، آنگاه زیرمدولی مانند n از m موجود است که(h_i^d(m)?h_m^d(m/n .

فرض کنید r حلقه ا ی جا به جایی و یکدار و c یک r-مدول نیمه دوگانی باشد. به طور کلی هدف اصلی ما در این پایان نامه، بررسی مفهوم بعد c-تصویری یک r-مدول است. ابتدا برای بعد c-تصویری سه تعریف طبیعی ارائه می دهیم و ثابت می کنیم که مقادیر حاصل از تعاریف مذکور، در صورت متناهی بودن با هم مساوی هستند. در ادامه رابطه ی بین مدول های کوهومولوژی نسبی و مطلق یک مدول را بررسی می کنیم و در پایان نشان می دهیم که رابطه ای قوی بین مدول های با بعد تصویری متناهی و مدول های با بعد c-تصویری متناهی وجود دارد. همچنین به عنوان دوگان این مطالب، بعد انژکتیو و بعد c-انژکتیو مدول ها را مقایسه می کنیم.

مدول های کوهن-مکالی کلاس مهمی از مدول های نوتری را تشکیل می دهند. بعنوان تعمیمی از این دسته مدول ها، کلاس مدول های کوهن-مکالی نسبی را معرفی می کنیم. در این پایان نامه هدف اصلی ما مطالعه برخی ابعاد همولوژیکی مدول های کوهن-مکالی نسبی و کوهمولوژی موضعی آنها است.

‎lr{indent}‎فرض کنیم ‎$(r,ma)$‎ یک حلقه جابه جایی موضعی، ‎$i$‎ ایده آلی از ‎$r$‎ و ‎$m$‎ یک ‎$-r$‎مدول با تولید متناهی باشد که ‎$ i m eq m$‎. فرض کنیم ‎$d(-)=hom_r(-,e)$‎ که در آن ‎$e$‎ پوشش انژکتیو ‎$r‎/ ‎ma$‎ است. ‎indent‎ در این پایان نامه ابتدا ثابت می کنیم که اگر ‎$grade(mathfrak{a},m) geq n$‎ و برای هر ‎$i >n$‎، ‎$-i$‎امین مدول کوهمولوژی موضعی ‎$h_{i}^i (m) $‎ صفر باشد، آن گاه ‎$h_{i}^n (d(h_{i} ^n (m) )) cong d(m) $‎. سپس نشان می دهیم که اگر ‎$x_1‎, ‎cdots,x_n$‎ یک ‎$-m$‎رشته در ‎$i$‎ باشد، آن گاه ‎$h_{(x_1‎, ‎cdots,x_n)}^n (d(h_{i} ^n (m) )) $‎ تصویر همریختی از مدول ‎$d(m)$‎ است. همچنین، با بکار بردن نتیجه ی اخیر، به بررسی شرایطی روی مدول های کسرهای تعمیم یافته می پردازیم که تحت آن شرایط یکریختی ‎$d(m) cong d( h_{(x_1‎, ‎cdots,x_n)}^n (d(h_{i} ^n (m) )) ) $‎ برقرار شود. در پایان به مطالعه ی شرایطی می پردازیم که تحت آن ها همریختی طبیعی ‎$r longrightarrow end_r(m) $‎ یکریختی شود.

در سال 1994 طی مقاله ای شارب1 ویتزل2 همبافت کوزین z-مدرج را همبافت کوزین غیر مدرج مقایسه کردند و نشان دادند که همبافت خارج قسمتی حاصل همواره دقیق است. در پایان نامه همبافت کوزین z-مدرج با همبافت های کوزین غیر مدرج مقایسه شده و نشان داده می مشود که در این حالت، عمبافت خارج قسمتی (که در اینجا آن را همبافت از هم پاشیده تعمیم یافته نامیده ام) لزوماً دقیق نیست. بامعرفی مفاهیم جدید و با استفاده از خواص همبافت کوزین شرایط کافی برای دقیق بودن همبافت خارج قسمتی مذکور در بالا را به دست آورده ایم.

حدس صفر شدن اولین ضریب چند جمله ای هیلبرت یک ایده ال پارامتری که اولین بار توسط واسکانسیلوس مطرح شد، در ردیف ابزارهای مناسب جهت مطالعه خواص اساسی حلقه ها قرار گرفته است. در این پایان نامه ابتدا به معرفی و بررسی چند جمله ای هیلبرت برای ایده آل پارامتری، عدد چرن و مقادیر این عدد می پردازیم. سپس نشان خواهیم داد که عدد چرن یا اولین ضریب چند جمله ای هیلبرت برای ایده ال پارامتری e1(q), q اطلاعات اساسی در مورد حلقه a به ما می دهد. درگام بعدی حلقه های واسکانسیلوس را معرفی می کنیم و ضمن اینکه به بررسی خواص اساسی حلقه های واسکانسیلوس و ارتباط آن ها با سایر خواص حلقه ها می پردازیم، نشان خواهیم داد که حلقه های کوهن مکالی ترتیبی مثال هایی موثر ار حلقه های واسکانسیلوس هستند. و بالاخره به این مساله می پردازیم که چه زمانی اولین ضریب چند جمله ای هیلبرت برای ایده ال پارامتری e1(q), q مستقل از انتخاب ایده آل پارامتری q از حلقه a است. همچنین ضمن معرفی حلقه های شبه باچسبام و باچسبام نشان خواهیم داد که این حلقه ها نمونه هایی از حلقه هایی هستند که در آنها اولین ضریب چند جمله ای هیلبرت برای ایده ال پارامتری، مستقل از انتخاب ایده آل پارامتری است.

در راستای مطالعه مفهوم تقریبا کوهن مکالی بودن روی حلقه های غیرنوتری تعمیم هایی از مفهوم کوهن مکالی ارائه می گردد. در گام نخست مفهوم کوهن مکالی بودن روی حلقه های غیر نوتری معرفی شده و مورد بررسی قرار می گیرد. پس از بدست آوردن نتایجی در این زمینه و در راستای حل حدسی منسوب به گلز، تعمیمی از نتیجه ای معروف از هاچستر و ایگون درباره کوهن مکالی بودن حلقه های پایا داده می شود.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

مبحث ایده ال ها، یکی از مباحث مهم در جبر جابجایی می باشد که برای مطالعه آنها روش های متعددی وجود دارد. یکی از این روش ها بررسی رفتار ایده ال های نزدیک به یک ایده ال مفروض می باشد. به همین دلیل در سالهای بستارهای گوناگونی برای ایده ال های معرفی گردیده است که هر کدام سهم بسزایی در پیشرفت نظریه ایده ال ها داشته اند. یکی از ابزارهای مهم برای شناخت این بستارها، مفهوم تقلیل ایده ال ها می باشد که برای اولین بار در [9] توسط d.g.northcott و d.rees معرفی گردید. بستارهای متفاوت یک ایده ال قرار می گیرند و هر کدام از آنها بخشی از ویژگیهای ایده ال مفروض را روشن می سازند. از جمله بستارهای مهم یک ایده ال می توان به بستار کیپ و بستار راتلیف -راش و -بستار و بستار صحیح اشاره نمود که معمولا با همین ترتیب نسبت به ایده ال مفروض قرار می گیرند. البته -بستار از آن جهت که می توان با تغییر مجموعه ، فاصله آن را با ایده ال مفروض تغییر داد، دارای اهمیت بیشتری می باشد. هدف از این مقاله بررسی خواص و کاربردهای -بستار ایده ال ها و حلقه ها و جبرها می باشد که در [13] توسط l.j. ratliff بیان شده است . در ضمن در این پایان نامه بستار صحیح و -بستار ایده ال ها را نیز مقایسه خواهیم نمود.

دراین پروژه فرض شده که r حلقه ای یکدار و جابجائی باشد و m یک -r مدول در نظر گرفته شده است . مفهوم مدول کسرهای تعمیم یافته مدول m نسبت به یک زیر مجموعه مثلثی از r توسط پروفسور شارپ و دکتر ذاکری در سال 1982 معرفی شده است . در سال 1986 e.s.golod از دانشگاه مسکو با تعریف زیر مجموعه مستطیلی و زیر مجموعه موضعی کننده از r، مفاهیم بالا را تعمیم داد. به بیان دقیقتر، وی با استفاده از مفهوم زیر مجموعه مستطیلی u از r و با بکارگیری نظریه کاتگوری ثابت نمود که -i h(u,m) امین همولوژی مدولهای دوگان همبافت کوزل مدول m نسبت به hu(m),u حد مستقیم -i امین مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته m نسبت به u بازاء هر sisn ایزومورفیک هستند، و درحالت خاص یعنی وقتی که u زیرمجموعه مستطیلی rn باشد، hun(m) با مدول کسرهای تعمیم یافته u ایزومورفیک هستند، که u زیرمجموعه موضعی کننده حاصل از u می باشد. مطالعه دقیق مطالب بالا و اثبات مطالب جالب دیگر در رابطه با مطالب بالا در این پروژه به شرح زیرانجام شده است : ابتدا همبافت کوزل معرفی گردیده و آنگاه حد مستقیم معمولی تعریف شده است . سپس این مفهوم تعمیم داده شده و بعضی از قضایای حد مستقیم معمولی برای حالت تعمیم یافته،اثبات گردیده است . این قضایا بعدا مورد استفاده قرار می گیرند. درفصل سوم نظریه e.s.golod مورد بررسی قرار گرفته و به عنوان آخرین نتیجه ازاین فصل، -n امین مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته، مشخص گردیده است . درفصل 6 بعد یکدستی مدول کسرهای تعمیم یافته در حالت خاص مورد مطالعه قرار گرفته و سپس به کمک نتایج به دست آمده، بعد یکدستی -n کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته و -n کوهمولوژی مدول r نسبت به u مشخص شده است .

در این پایان نامه توجه خود را به حلقه های جابجایی و یکدار که لزوما" نوتری نیستند معطوف کرده و بدین ترتیب مفاهیم هم رشته و هم نمرهء یک ایده آل را که بترتیب دوگان رشته و نمرهء یک ایده آل هستند، تعریف کرده ایم. اگر m یک مدول آرتینی روی حلقهء شبه موضعی a, m`) باشد، آنگاه بعد کرول و دستگاه پارامتری برای m را تعریف کرده و نشان داده ایم که در حالت کلی رابطه زیر برقرار است .cograde m < k dim m سپس به معرفی مدول های کوکوهن مکولی پرداخته، به کمک مدول های کسرهای تعمیم یافته، این نوع مدول ها را دقیقا" مشخص کرده ایم همچنین دوگان قضیه دقیق بودن را ثابت کرده و دو کاربرد این قضیه را بیان کرده ایم.

این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل است . در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز آورده شده است . در فصل دوم ابتدا به معرفی همبافت کوزین و برخی از ویژگیهای مقدماتی آن می پردازیم که اکثر مطالب آن از [g] گرفته شده است . در انتهای فصل دوم قضیه 13.2 را یکی از نتایج مقاله اصلی است ثابت می کنیم. در این قضیه فرض می کنیم. در این قضیه فرض می کنیم a حلقه ی جابجایی، یکدار و نوتری بوده، l و -a, k مدول باشند بعلاوه فرض می کنیم f:l--->k یک -a ایزومورفیسم باشد، نشان می دهیم ایزومورفیسمی القایی میان همبافتهای کوزین آنها مانند a(f): ca l)* ---> ca(k)*با ویژگیهای خاص خود موجود است . فصل سوم را به همبافتهای کوزین و توسیعهای یکدست از حلقه ها اختصاص داده ایم. در این فصل فرض کرده ایم :a ---> bهمورفیسم حلقه ای یکدستی بین حلقه های جابجایی، یکدار و نوتری باشد و نشان داده ایم اگر m یک -a مدول ناصفر باشد. (با توجه به اینکه m ab را می توان به عنوان -a مدول یا -b مدول در نظر گرفت)، همبافتهای کوزین ca(m ab)* و cb(m ab)* را می توان به عنوان همبافتهایی از -a مدولها در نظر گرفت . سپس آنها را به عنووان همبافتهایی از -b مدولها و -b همومورفیسم ها در نظر گرفته و به تعریف زنجیری از نگارش در نظر گرفته و به تعریف زنجیری از نگاشتها مانند ba(m):ca(m ab)* ---> cb(m b)* پرداخته و به این نتیجه می رسیم که در شرایطی خاص می توانیم ca(m ab)* را به عنوان زیرهمبافتی از cb(m b) در نظر بگیریم. در واقع نشان داده ایم شرط کافی برای اینگه ba(m) یک به یک باشد این است که تمامی فیبرهای وابسته در این شراط s1 صدق کنند. در این حالت یک همبافت خارج قسمتی که آن را با qba(m)* نمایش می دهیم بدست می آید. در فصل چهارم نشان داده ایم همبافت خارج قسمتی بدست آمده دقیق است اگر و فقط اگر فیبرهای معینی از ، کوهن-مکالی باشند. برای اثبات مطلب فوق، بنابر قضیه ای از [14]، که در فصل سوم ثابت شده، جملات همبافت کوزین را به عنوان جمع مستقیمی از کوهمولوژی مدولهای موضعی مشخصی در نظر گرفتیم و با استفاده از ویژگیهای کوهمولوژی موضعی شرایط لازم و کافی برای دقیق بودن qba(m* را بدست آورده ایم.

رساله را با نگاهی اجمالی به تعاریف و مفاهیم مقدماتی نظریه کوهمولوژی موضعی و تعمیم های آن، و نظریه پوشش یکدست مدولها شروع می کنیم. در فصل دوم برای یک دستگاه ایده آلی از حلقه ‏‎r‎‏، مدول با تولید متناهی ‏‎m‎‏ و عدد طبیعی ‏‎‏‎n‎‏ ثابت می کنیم که ‏‎f (m)>n‎‏ اگر و تنها اگر به ازای هر ایده آل اول ‏‎f (mp)>n,p spec(r)، که در آن ‏‎f (m)‎‏، بعد ‏‎‏‎‏‎a‎‏-متناهی ‏‎‏‎m‎‏ نسبت به است. اثبات این قضیه، که به کمک مفهوم فیلتر رشته های منظم انجام می گیرد، نه تنها اثبات جایگزین و کوتاهی برای قضیه فالتینگز ارائه می کند، بلکه منجر به نتایجی پیرامون ایده آلهای اول وابسته به مدول کوهمولوژی موضعی می شود. فصل سوم تماما به هم متناهی بودن مدول کوهمولوژی موضعی جامع پرداخته است. در این فصل ثابت می کنیم که کوهمولوژی موضعی مدولهای با تولید متناهی، نسبت به ایده آلی که توسط یک ‏‎u.s.d‎‏-رشته تولید شده است، هم متناهی است. به کمک این قضیه، ثابت می کنیم که اگر ‏‎n n‎‏ بگونه ای باشد که برای هر ‏‎i<n‎‏، ‏‎h (m)‎‏ با تولید متناهی بوده و به ازای هر ‏‎i<n‎‏ و هر ‏‎h (m)=0,a ‎‏، آنگاه مدول ‏‎h (m) به ازای هر ‏‎i n‎‏، هم متناهی است. این نتیجه منجر به نتایج جالبی در نظریه کوهمولوژی موضعی، از جمله تعمیمی از قضیه کاوازاکی و لم یوشیدا خواهد بود. در فصل چهارم هم متناهی بودن مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته را در دو حالت، حالتی که ایده آل اصلی باشد و حالتی که ایده آل اول بوده و هم بعد آن یک باشد، بررسی کرده و نشن می دهیم، که مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته در هر دو حالت، بدون هیچ شرطی روی حلقه یا مدول، هم متناهی است. در فصل پنجم پس از معرفی و بیان خواص پوشش یکدست یک مدول و پس از اثبات مقدمات مورد نیاز، توصیفی برای حلقه کوهن مکالی (بدون شرط موضعی) با توجه به دوگان عدد باس بدست می آوریم. بعلاوه حلقه های منظم را نیز بطور کامل توصیف می کنیم. بعبارت دقیق تر نشان می دهیم که حلقه ‏‎r‎‏ کوهن مکالی است اگر و تنها اگر به ازای هر ‏‎i n‎‏ و هر ‏‎ (p,m)=0,p spec(r) فقط اگر ‏‎i<htp‎‏، که در آن ‏‎ (p,m)‎‏ ‏‎i‎‏-امین دوگان عدد باس ‏‎m‎‏ نسبت به ایده آل اول ‏‎p‎‏ است. در پایان فصل، در حالات خاصل نتایجی پیرامون ارتباط بعد انژکتیویک مدول با بعد انژکتیو پوشش یکدست و پوشش همتاب آن، بیان می کنیم. در فصل ششم، ‏‎f‎‏-همبافت ‏‎f‎‏ را همبافتی کراندار از مدولهای یکدست و همتاب تعریف می کنیم به قسمی که مدولهای همولوژی آن همه آرتینی بوده و همچنین ، که دراین تجزیه به ازای هر ‏‎p spec(r)‎‏ هر ‏‎rp‎‏، یکبار و فقط یکبار ظاهر شده است. با بررسی خواص این همبافت، نشان می دهیم که دوگان کاملا مناسبی از همبافت دوگانی است. بعلاوه خواهیم دید که همولوژیهای این همبافت ارتباط تنگاتنگی با مدول کوهمولوژی موضعی دارند. همچنین ثابت می کنیم که کلاس حلقه هایی که دارای ‏‎f‎‏-همبافت هستند، شامل کلاسی حلقه هایی است که دارای همبافت دوگانی می باشند.

چکیده ندارد.