در این رساله ما تعریف جدیدی از فضای فوریه روی یک ابرگروه فشرده ی موضعی ارایه می دهیم و ثابت می کنیم که آن یک زیرفضای باناخ از جبر فوریه – استیلیس روی آن ابرگروه است. این تعریف باتعریف امینی و مدقالچی هنگامیکه ابرگروه مورد نظر یک ابرگروه تانسوری باشد منطبق است و همچنین با تعریف رم که تنها برای ابرگروه های فشرده می باشد انطباق دارد. ثابت می کنیم که دوگان جبر فوریه روی یک ابرگروه برابر است با جبر فون - نویمن روی آن ابرگروه. همچنین نشان می دهیم برای یک ابرگروه پونتریاگین جبر فوریه برابر است با پیچش فضای هیلبرت متشکل از تمام توابعی که انتگرال مربع آن ها متناهی است با خودش. علاوه بر آن نشان میدهیم یک نرم معادل روی جبر فوریه ی روی یک ابرگروه وجود دارد که آن را به یک جبر باناخ یکریخت با جبر باناخ متشکل از توابع با انتگرال متناهی روی تبدیل فوریه ی روی آن ابرگروه تبدیل می کند. ما ثابت می کنیم هرگاه یک ابرگروه تانسوری میانگین پذیر باشد آن گاه جبر فوریه ی روی آن دارای یک همانی تقریبی کراندار است. همچنین نشان می دهیم اگر یک زیر جبر از جبر فوریه – استیلیس روی یک ابرگروه تانسوری فشرده ی موضعی ضعیف ستاره بسته پایا نسبت به مزدوج پایا باشد و نقاط آن ابرگروه را از هم جدا کند آنگاه می بایست شامل جبر فوریه ی روی آن ابرگروه باشد. در آخر دو گونه ی جدید از ابرگروه ها با نام های ابرگروه های حذفی چپ و ابرگروه های انتقال پذیر چپ را معرفی می کنیم . ما به تحقیق در باره ی ویژگی های این نوع از ابرگروه ها می پردازیم و نتایج جدیدی بدست می آوریم که در حالت کلی برای همه ی ابرگروه ها برقرار نیست. همچنین برخی مثال های جالب از این ابرگروه ها را می آوریم .

در این پایان نامه روابط بین خواص ذیل، از یک جبر، متناهی است. -c? جبر خاصیت نقطه ثابت دارد. طیف هر عضو خودالحاق از یک -c? فضای شامل q و p جبر تولید شده توسط دو نگاشت تصویری -c? البعد است. فضای ?? جبر، متناهی -c? یک هومئومرفیک است. ? < ?? توانی با عدد ترتیبی ?? است؛ که از لحاظ هم p + q طیف باشد. همچنین جبر باناخ حقیقی تولید ?? جبری؛ دارای خاصیت نقطه ثابت ضعیف نیز می -c? این چنین ?? شده با عنصر خود الحاق نیز این خاصیت را دارد. در آخر بحث حدس لاوتون به عنوان یک مساله باز آورده شده است

ای پایان نامه بر اساس مقاله ای که ادامه کار آقایان کانیوث،لائو و پیم روی میانگین پذیری یک جبر باناخ a با توجه به یک مشخصه می باشد که از آن به میانگین پذیری تعبیرمی کنیم.شایط لازم و کافی متعددی هم به صورت کلی و هم نقطه ای روی جبر باناخ a یافت شده است تا a میانگینی از نرم 1 داشته باشد همچنین ما اندازه مجموعه میانگین ها را برای یک جبر جدایی پذیر به طور ضعیف دنباله ای کامل که در خودش میانگینی ندارد را به طور کامل مشخص می کنیم.در انتها تعدادی مثال گویا مورد بحث قرار می گیرد.

فرض کنید a یک جبر باناخ تعویض پذیر منظم و نیمه ساده با همانی تقریبی کراندار باشد.ما ضربگرهای a،به ویژه ضربگرهای کراندار توانی،ایدال های وابسته به a و تصویر های a-پایا از فضای دوگان a را مورد بررسی قرار می دهیم.نمونه هایی از نتایج به دست آمده تعمیم قضایای کلاسیک چوکت-دنی و فاگول دربارهاندازه ها در گروه های موضعاً فشردهو آبلی هستند.نتایج حاصل شده به مجموعه های ترکیبی در طیف گلفاند a مرتبط می شوند و همچنین کاربرد های اصلی با جبر فوریه و جبر فوریه استیلجس از گروه های موضعاً فشرده ارتباط دارد

در این پایان نامه کرانداری توانی در جبر فوریه ‎a(g) و جبر فوریه اشتیلیس ‎b(g) از گروه به طور موضعی فشردهg ‎ و دیگر جبرهای جابه جایی روی گروه به طور موضعی فشرده ‎g ‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. جواب دادن به سوالات زیر از اهداف اصلی این پایان نامه می باشد‎:‎ ‎(1‎ تحت چه شرایطی همه عناصر با شعاع طیفی حداکثر یک از هر کدام از جبرهای بالا کراندار توانی اند.‎ ‎(2 دسته بندی عناصر کراندار توانی در جبرهای ‎a(g)‎ و ‎b(g)‎ چیست؟‎ ‎(3 ساختار تبدیل گلفند یک عنصر کراندار توانی به چه صورت است؟

هم چنین ثابت می کنیم که اگر m یک جبر ون نیومان باشد، آن گاه هر زیرمجموعه کران دار و غیر تهی از l1-فضا که نسبت به توپولوژی اندازه فشرده است، دارای ویژگی نقطه ثابت برای نیم گروه های وارون پذیر چپ است.

بستار مجموعه تمام خودتوانهای ,دارای ارتباطات بسیارساده ای می باشد.دراین پایان نامه زیرمجموعه های متعددی از رامطرح وبه ارتباط آنهاونیزارتباط آن مجموعه هاباخواص می پردازیم.

هدف از این پایان نامه مطالعه میانگین پذیری و میانگین پذیری ضعیف برای مرکز جبرگروهی می باشد. همچنین در این پایان نامه نشان داده می شود برای یک گروه فشرده مرکز آن در شرایط زیر نمی تواند میانگین پذیر باشد. 1) گروه غیرآبلی و همبند باشد. 2) گروه حاصلضرب شمارای نامتناهی غیرآبلی متناهی باشد. همچنین مطالعه شماری از گروه های غیر فشرده، شرایطی که ویژگی های میانگین پذیری و ابرتاوبری بودن مرکز آن ها را نتیجه می دهد بررسی می شود. این نتایج بطور وسیعی از اکتشافات حاصل از مطالعه عمیق روی اندازه های خودتوان مرکزی بر گروه های فشرده که توسط دی. ریدر انجام گرفته است استفاده می کند و به حدس زیر منجر می شود. حدس: اگر گروهی فشرده باشد مرکز جبر گروهی آن میانگین پذیر است اگر و فقط اگر گروه یک زیرگروه آبلی باز داشته باشد.

یکی از نتایج اصلی در قضیه نیم گروه از عملگرها این است که نیم گروه s = {t(ε) : ε > 0} و عملگر بینهایت کوچکa به وسیله فرمول فوق t(ε) = eεa نمایش داده میشود. فرض کنید که h یک ابر گروه جابجابب فشرده با فضای دوگان ˆ h باشد. اگر u = c(h) یا lp(h) باشد آنگاه برای هر نیم گروه s = {t(ε) : ε > 0} از عملگرها درuکه با انتقال جابجایی یک نیم گروه m = {eε : ε > 0} از u-ضربگرها وجود دارد. برعکس فرض کنیم m یک نیم گروهm = {eε : ε > 0} ازu-ضربگرها باشد آنگاه یک نیم گروه s = {t(ε) : ε > 0} از عملگرها در u که با انتقال جابجایی وجود دارد.

ساخت همه بردارهای موجک دوبه دومتعامد وابسته به یک بردار مقیاس دوبه دومتعامد، ممکن است مانند حالت تک ـ موجک های دوبه دومتعامد، ساده نباشد. در این پایان نامه، چند قضیه درباره ساخت بردارهای موجک دوبه دومتعامد ارائه شده است که برای سادگی محاسبات، مربوط به ساخت پارامتری همه بردارهای موجک دوبه دومتعامد که محمل آنها در [-1 , 1] است، می باشد. این روش هم چنین برای حالت تک ـ موجک های متعامد با محمل فشرده نیز مناسب است. علاوه براین مثال هایی ارائه شده است که تمام بردارهای موجک دوبه دومتعامد وابسته به بردارهای مقیاس دوبه دومتعامد خوش تعریف، پارامتری شده است.

در این پایان نامه ایده آل های بسته با همانی تقریبی کران دار در جبر فوریه روی یک فضای همگن میانگین پذیر به صورت حلقه همدسته روی گروه متناظر در نظر گرفته می شوند و تعدادی از این نتایج را به جبر فیگا-تالامانکا-هرز توسیع می دهیم. بستار جبر فوریه a(g/k) در نرم cb-ضربگرهای کاملاً کران دار را در نظر می گیریم و برخی از نتایج را روی ترکیب طیفی اثبات می کنیم. به علاوه تعدادی از این نتایج را روی ایده آل های با همانی تقریبی کران دار به دست می اوریم.