اصل ایده آل اول در جبر جابجایی

فرض کنیم r یک حلقه جابجایی و یکدار باشد. خانواده f از ایده آل های r را خانواده oka می نامیم هرگاه برای هر ایده آل i و هرعضو a از r، از اینکه (i,a) و (i:a) متعلق به f باشند نتیجه شود i نیز متعلق به f است. همچنین خانواده f از ایده آل های r را خانواده ako می نامیم هرگاه برای هر ایده آل i واعضای a,b از r، از اینکه (i,a) و (i,b) متعلق به f باشند نتیجه شود (i,ab) نیز متعلق به f است. اصل ایده آل اول بیان می کند که اگر f یک خانواده oka یا ako باشد، آنگاه ماکسیمال مکمل f یک ایده آل اول است. مثالهای متنوعی از خانواده های oka یا ako آورده شده است که استفاده از اصل ایده آل اول در مورد آنها منجر به نتایجی شناخته شده و یا شناخته نشده در جبر جابجایی می شود. به عنوان مثال می توان نتیجه گرفت حلقه r نوتری (حوزه ددکیند یا حلقه ایده آل اصلی)است هرگاه هر ایده آل اول غیرصفر با تولید متناهی (به ترتیب: معکوس پذیر یا اصلی) باشد. خانواده های oka با زیررسته هایی از رسته مدولهای دوری که تحت توسیع بسته هستند، متناظر می شوند. با استفاده از این تناظر می توان نمونه های دیگری از خانواده های oka را مورد بررسی قرار داد.