در این پایان نامه گراف معادل حلقه تعویض پذیر و یکدار r رامورد بررسی قرار می دهیم که دو راس a وb در آن تشکیل یال می دهند اگر داشته باشیم و در ادامه زیرگراف p2(r) را زیرگراف وابسته به عناصر غیریکه حلقه r تعریف می کنیم و در ادامه خواص گراف p2(r)-j(r) را بررسی می کنیم. می دانیم اگر u(r) عناصر یک حلقه r باشد آن گاه طبق تعریف اولیه شارما از یال در p(r) داریم به هر راس از r(r) متصل خواهد بود و این نشان می دهد هر ∋j(r) x یک راس تنها از f2(r) است. بنابراین بخش اصلی گراف p(r) زیرگراف p2(r)-j(r) است و به همین دلیل اهمیت بررسی خواص p2(r) -j(r) اشکار می شود.

این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است. در این پایان نامه به بررسی بعد کرول توپولوژیکی مدول های توپولوژی می پردازیم. بعد کرول مجموعه همه ی زیرمدول های بسته از یک مدول، بعد کرول توپولوژیکی نامیده می شود. در حالت کلی، ممکن است که یک مدول دارای بعد کرول توپولوژیکی باشد، اما بعد کرول نداشته باشد. می دانیم که هر مدول با بعد کرول، بعد گلدی متناهی دارد، اما اگر یک مدول بعد کرول توپولوژیکی داشته باشد، لزوما بعد گلدی متناهی ندارد. سپس مدول های بحرانی توپولوژی و بعد نویتری توپولوژیکی را تعریف کرده و قضایای مربوط به آن ها را بیان می کنیم. هم چنین حالت توپولوژیکی لم لنگان را بیان می-کنیم و به بررسی pi – حلقه های دارای مدول های با بعد کرول توپولوژیکی می-پردازیم و خواص رادیکال بئر حلقه های با بعد کرول توپولوژیکی را بیان می کنیم.

این پایان نامه بر اساس مقاله ی ]11[ می باشد و در سه فصل تنظیم شده است. در این پایان نامه بررسی می کنیم که تحت چه شرایطی مدول هایی که در شرط dcc (acc) روی زیرمدول های غیر اساسی صدق می کنند یکنواخت یا آرتینی (نوتری) خواهند بود و ثابت می کنیم که هر مجموع مستقیم متناهی از مدول هایی که در شرط dcc (acc) روی زیرمدول های اساسی صدق می کنند نیز، در شرط dcc (acc) روی زیرمدول های اساسی خود صدق می کند، اما این مسئله برای شرط های زنجیری روی زیرمدول های غیر اساسی برقرار نیست. هم چنین نشان خواهیم داد که در یک حلقه ی ناجابجایی r که ایدال های راست اساسی بسیار دارد و در شرط acc روی پوچ سازهای راست صدق می کند، رادیکال اول مجموعه ی همه ی عضو های پوچ توان حلقه است و بررسی می کنیم که با چه شرطی یک حلقه ی نوتری راست، آرتینی راست خواهد بود.

در این پایان نامه ابتدا وجود توسیع های مینیمال حلقه های جا به جایی بررسی می شود و سپس به طبقه بندی آنها می پردازد.هم چنین به مطالعه و طبقه بندی توسیع مینیمال دانه های صحیح می پردازد.وسپس با تغییر دادن شرایط طبقه بندی دامنه های صحیح را مجددا بررسی می کند

این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است. در فصل اول به تعاریف، مفاهیم و قضایای اولیه مورد نیاز از جمله مجموعه های مرتب و انواع ترتیب، اعداد ترتیبی و اعداد اصلی، تعاریف جبری، pi-حلقه ها، جبر ویل، کرانداری و نظریه تاب موروثی و ... پرداخته ایم. در فصل دوم مفاهیم بعد گلدی و حلقه گلدی را طرح کرده ایم و ثابت کردیم که اگر m یک مدول با بعد گلدی متناهی باشدو k1,k2 زیر مدول های m باشند بطوریکه اشتراک k1,k2 در m مکمل باشد، آن گاه g-dim (k1+k2)= g-dim k1 + g-dim k2 - g-dim (k1+k2) در فصل سوم بعد کرول را تعریف کرده و قضایای مورد نیاز آن را بیان کردیم. در فصل چهارم ثابت کردیم که اگر r و s دو حلقه باشند و m یک مدول دوطرفه ی نویتری (r-مدول راست و s-مدول چپ) باشد، r-مدول راست m آرتینی است اگر و فقط اگر هر زیر مدول اول تحویل ناپذیر از r-مدول راست m ماکسیمال باشد.

چکیده این پایان نامه در چهار فصل تنطیم شده است. فصل اول مفاهیم اولیه مورد نیاز از جمله بعد گلدی، بعد کرول، و بعد نویتری (دوگان بعد کرول) بیان شده است. به دلیل بررسی دقیق تر دوگان بعد گلدی، در فصل2 به آن پرداخته ایم. در این فصل ابتدا مفاهیم اولیه زیرمدول های کوچک، خانواده های هم مستقل و... وقضایای مربوط به آن ها را به تفصیل بیان کرده و سپس به معرفی دوگان بعد گلدی می پردازیم ورابطه بین مدول های با بعد خارج قسمت متناهی ومدول هایی که هر زیرمدول آن دارای دوگان بعد گلدی متناهی است را بیان می کنیم. در فصل3 به توصیف خصوصیت های مدول های با بعد کرول حداکثر? و شرایطی که تحت آن مدول های با بعد خارج قسمت متناهی و نیز مدول هایی که هر زیرمدول آن دارای دوگان بعد گلدی متناهی است، آرتینی خواهد بود را بررسی می کنیم. در فصل4 سعی شده دوگان برخی از مطالب فصل3 را بیان کرده وبه توصیف ویژگی های مدول های با بعد نویتری حداکثر? بپردازیم.

the notion of baer modules was defined recently

در فصل سوم پایان نامه مدول های ?-کوتاه را معرفی می کنیم. مدول کوتاه همان مدول 0-کوتاه است، یعنی به ازای هر زیرمدول n از m ، n یا m/n نویتری است. با استفاده از این مفهوم بسیاری از نتایج مدول های کوتاه را به مدول های ?-کوتاه تعمیم می دهیم. نشان می دهیم اگر m یک مدول ?-کوتاه باشد ،که ? یک عدد ترتیبی شمارا است، هر زیرمدول m شمارا مولد است. همچنین نشان می دهیم اگر m یک مدول ?-کوتاه باشد شمارا مولد باشد آن گاه n-dim m=? یا n-dim m=?+1. در حالت خاص نشان می دهیم اگر حلقه ی نیم اول r ، ?-کوتاه باشد آن گاه n-dim r=?. در فصل چهارم پایان نامه به معرفی و بررسی بعد تام می پردازیم. بعد تام در حقیقت اندازه ی دور بودن یک مدول از تام بودن را نشان می دهد. نشان می دهیم اگر مدول m دارای بعد خارج قسمت متناهی باشد، آن گاه m بعد تام دارد اگر و تنها اگر بعد کرول داشته باشد و در این حالت بعد تام و بعد کرول با هم مساوی هستند. درنتیجه اگر r – مدول m بعد کرول داشته باشد دارای بعد تام است و k-dim m=p-dim m. همچنین خواص مشابه بعد کرول را برای بعد تام بیان و اثبات می کنیم. به علاوه نشان می دهیم اگر m=?_i?i?m_i و m_i ها مدول های توضیع پذیر و غیروابسته هستند(یادآوری ، دو مدول a و b را غیر وابسته می نامیم ، اگر چنانچه زیرمدول های p?p?a و q?q?b وجود داشته باشند که q/q?p/p آنگاه p=p وq=q)، آن گاه p-dim m=sup {pdim m_i:i?i} سرانجام در فصل پنجم پایان نامه به دوگان بعد تام می پردازیم.

به بررسی شرایطی می پردازیم که یک حلقه تعویض پذیر را بتوان در یک حلقه موضعی نشانند. این موضوع منجر به یافتن شرایطی می شود که تحت آن ها یک حلقه شبه موضعی به وسیله یک حلقه موضعی محاط می شود. هم چنین این موضوع منجر به بررسی توسیع های میدان مانده ای یک حلقه شبه موضعی نیز خواهد شد. چندین نتیجه را درباره محاط شدن یک حلقه شبه موضعی صفر بعدی که قابل نشاندن در یک حلقه نوتری باشد. به وسیله یک حلقه آرتینی محاط می شود

در این مقاله اثبات شده که مدول m در شرط زنجیر صعودی (به ترتیب. شرط زنجیر نزولی) روی غیر جمعوندها صدق می کند اگر وفقط اگر m نیم ساده یا نوتری(به ترتیب. آرتینی) باشد . روی یک حلقه نوتری راست،- r مدول راست m در شرط زنجیر صعودی روی غیر جعموندهای متناهی تولید شده صدق می کند اگر و فقط اگر m در شرط زنجیر صعودی روی غیر جمعوند ها صدق کند . هم چنین یک r – مدول راست m درشر ط زنجیر نزولی روی غیر جمعوندهای متناهیا تولید شده صدق می کند اگرو فقط اگر m موضعا آرتینی باشد علاوه بر این‏ اگر حلقه r در شرط زنجیر نزولی روی ایدالهای راست دوری غیر جمعوند صدق کند آنگاه r نیم موضعی است که رادیکال جیکبسن آن t –پوچ توان است.

این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است. در فصل اول به بیان تعاریف ، مفاهیم و قضایای اولیه از جمله تعریف مشبکه و بیان مفهوم بعد گلدی ، زیرمدول اساسی و خانواده مستقل از زیرمدول ها پرداخته ایم. در فصل دوم مفهوم دوگان بعد گلدی را تعریف و آن را بویژه در حالت متناهی مورد بررسی قرارداده ایم ، برای بیان این مفهوم ابتدا با دوگان کردن تعاریف و مقدمات بیان شده برای تعریف بعد گلدی به بیان تعاریف و مفاهیمی مانند زیرمدول کوچک ، زیرمدول های هم بسته ، مکمل های ضعیف ، مجموعه هم مستقل از زیرمدول ها و قضایای مربوط به آنها پرداخته ایم. در فصل سوم نیز به بیان تعریف وتوصیف دوگان بعد گلدی نامتناهی مشبکه ها و مدول هاو نیز دوگان بعد گلدی یک حلقه به عنوان مدول راست روی خودش پرداخته ایم و نشان داده ایم که برای بررسی این مفهوم کافی است به بررسی ایدال های ماکسیمال راست حلقه بپردازیم. در پایان نیز چند مثال را بررسی کرده و دوگان بعد گلدی را برای آنها محاسبه کرده ایم.

روی هر حلقه تعویض پذیر هر مدول نویتری با ساکل اساسی ارتینی است. اماfaith و menal نشان دادند که این مطلب برای حلقه های نویتری راست درست نیست اگر چه ginn وmoss ثابت کردند که یک حلقه نویتری چپ و راست با ساکل راست اساسی ارتینی راست و چپ است. در این رساله به بررسی قضیه هایی می پردازیم که حلقه های نویتری با ساکل اساسی ، ارتینی هستند. نشان می دهیم که هر حلقه نویتری با ساکل راست یا چپ اساسی ،یک حلقه ارتینی است و با یک مثال ثابت می کنیم که هر حلقه نویتری راست با ساکل راست اساسی لزوما ارتینی نیست و در ادامه ثابت می کنیم که اگر شرط sr<sl را به حلقه نویتری راست با ساکل راست اساسی اضافه کنیم در ان صورت حلقه ی مورد نظر به حلقه ارتینی راست تبدیل می شود.

در این پایان نامه، پیرامون ایدآل ها و نظریه ی همنهشتی تحقیق کرده و ایدآل ها، ایدآل های تولید شده توسط یک مجموعه، همنهشتی ها، همریختی ها، ایدآل های نرمال، جبرهای خارج قسمتی، همنهشتی های نرمال، ایدآل های اول، ایدآل های تحویل ناپذیر وایدآل های ماکسیمال را در شبه جبرهای-bck معرفی می کنیم. به ویژه نظریه ی ایدآل اول و نتایج مربوط به آن را در نیم مشبکه های پایینی شبه-bck با شرط ps))مورد بررسی قرار داده ایم. از این که یک شبه جبر- bckناجابجایی تعمیم یک جبر-bck می باشد، پس تعاریف و نتایج این پایان نامه می تواند فرم های ناجابجایی از جبرهای-bck باشد.

در این پایان نامه نشان داده شده است که اگر m یک r-مدول راست خود مولد باشد، آنگاه m,m-ناتکین و cs خواهد بود اگر وتنها اگر m,m-بسته باشد و (end(mیک حلقه ی ppی راست باشد. در حالت خاص، cs-حلقه های راست ناتکین راستr,r-بسته ی راست و ppی راست هستند. به عنوان یک کاربرد نشان خواهیم داد که برای هر دامنه ی دلخواهr,r^2,cs راست است اگر وتنها اگر r دامنه ی ار دو طرفه باشد این امر پاسخ سوالی است که پیش از این در حالت های خاص مطرح می شد. در یک کاربرد دیگر نشان می دهیم که برای هر حلقه ی منظم ون نیومن r,حلقه ی ماتریسی(m(r ، به طور ضعیف خود انژکتیو راست است اگر وتنها اگر r خود انژکتیو راست باشد.

برای زیرمدول nاز m،زیرمدول kازm را مکمل n گوییم، اگر k بااین خاصیت که با n اشتراک صفر دارد ماکسیمال باشد. زیرمدول kازm را مکمل گوییم،اگر مکمل یک زیرمدول از m باشد. مدول را cs-مدول گوییم، اگر هر زیرمدول مکمل آن جمع وند مستقیمش باشد. مدول را c??-مدول ضعیف گوییم، اگر هر زیرمدول نیم ساده از آن دارای مکملی باشد که جمع وند مستقیمش باشد. در این پایان نامه نشان داده شده که اگر مدول m یک c??-مدول ضعیف باشد و (m?soc (m بعد گلدی متناهی داشته باشد، آن گاهm =m?? m?، که m? نیم ساده است و m? دارای بعد گلدی متناهی است. بویژه اگر m یک c??-مدول ضعیف باشد که در شرط d.c.c) a.c.c ) روی زیرمدول های اساسی اش صدق کند، آن گاه m =m?? m? ،که m? نیم ساده و m? نوتری است. به علاوه ثابت شده که (c??) و (c??) ضعیف خاصیت پایداری موریتا هستند.

در این نوشتار، حلقه هایی مورد بررسی قرار می گیرند که هر مدول آرتینی روی آن ها، جمع مستقیمی از یک مدول با طول متناهی و تعداد متناهی پوش انژکتیو از مدول های راست(چپ) ساده است. چنین حلقه هایی، حلقه های با مدول های آرتینی خوش رفتار نامیده می شوند. در ادامه ی نوشتار، نمونه هایی از این حلقه ها را ذکر می کنیم و نشان می دهیم اگر $ r $ یک دامنه ی تعویض پذیر نوتری، با بعد کرول یک باشد و هر $ -r $% مدول بخش پذیر آرتینی، انژکتیو باشد; در این صورت $ r $، مدول های آرتینی خوش رفتار دارد. هم چنین نشان می دهیم اگر $ r $ یک حلقه ی هم - نوتری تعویض پذیر باشد; آن گاه $ r $, مدول های آرتینی خوش رفتار دارد اگر و تنها اگر $ r_{m} $ ( $m$ ایدال ماکسیمال $ r $ ) دامنه ددکیند یا آرتینی باشد

در این پایان نامه به بررسی ارتباط بین زیرمدول رادیکال n از مدولm که n اشتراک متناهی از زیرمدول های اول m و مدول خارج قسمتی m/n بعد گلدی متناهی دارد، می پردازیم و ثابت می کنیم اگر n زیرمدول رادیکال ازمدول m روی حلقه r باشد که m/n بعد گلدی متناهی دارد، آن گاه n اشتراک تعداد متناهی از زیرمدول های اول می باشد. عکس این مطلب در حالت کلی نادرست است، مگر این که حلقه مزبور یک حلقه گلدی چپ و کراندار چپ و مدول m متناهی تولید شده باشد. در پایان ثابت می کنیم اگر n زیرمدول m و اشتراک تعداد متناهی از زیرمدول های اول باشد، آن گاه m/n می تواند شامل تعداد نامتناهی از زیرمدول های اول مینیمال باشد.

در این پایان نامه نشان داده شده است که اگر r یک حلقه با بعد گلدی راست متناهی و n یک عدد صحیح مثبت و یک حاصل ضرب مستقیم از r-مدول های راست n-موروثی باشد، آن گاه r در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول های n-مولد صدق می کند اگر و تنها اگر برای هر ، در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول هایn -مولد صدق کند. هم چنین ثابت می شود که اگر r یک حلقه ی گلدی راست باشد که در شرط زنجیر نزولی روی پوچ سازهای راست صدق کند و n یک عدد صحیح مثبت باشد به طوری که هر r-مدول راست آزاد متناهیاً تولید شده در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول های n-مولد صدق کند، آن گاه هر r-مدول راست آزاد در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول های n-مولد صدق می کند. در آخر نشان داده می شود که اگر r یک حلقه ی نوتری راست و چپ باشد، آن گاه برای هر عدد صحیح مثبت n، r-مدول راست در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدو های n-مولد صدق می کند.

یک عضو در حلقه ی r خوش ترکیب (یکه –منظم) نامیده می شود اگر به صورت مجموع (حاصل ضرب ) یک عضو خودتوان ویک عضو یکال باشد. اگر تمام عناصر حلقه r یکه –منظم باشد آن گاه تمام عناصر r خوش ترکیب اند. در این پایان نامه نشان می دهیم که یک عنصر یکه- منظم در حلقه لزوما خوش ترکیب نیست. هم چنین محکی برای خوش ترکیبی ماتریس با سطر اول و وسطر دوم صفر در حلقه ی ماتریس های m2(k) برای هر حلقه تعویض پذیر k به دست می آوریم. بنا به این معیار اگر k=zماتریس با سطر اول 12 و5 وسطر دوم صفر یکه- منظمی است که خوش ترکیب نیست.

حلقه بلند راست،حلقه ای است که هر مدول راست غیرنویتری از آن شامل زیرمدول سره غیرنویتری است. در این رساله معیاری برای حلقه های تعویض پذیر بلندارائه می دهیم. با ارائه مثال هایی شرایط لازم و کافی برای بلند بودن حلقه ها بیان می کنیم. همچنین یک مثال از حلقه تعویض پذیر بلند غیرماکس معرفی می نماییم.

در این پایان نامه رده ای خاص از حلقه ها با عنوان حلقه های به طور ضعیف منظم را بررسی می کنیم و به یک طبقه بندی از نتایج در مورد ساختار این حلقه ها و ایدال های آن ها دست می یابیم. رامامورتی برای حلقه های آرتینی چپ ثابت کرد که به طور ضعیف منظم بودن معادل با منظم بودن و دومنظم بودن است. مشاهده می کنیم که این نتیجه یک شرط تعمیم یافته است. در واقع نتیجه گیری می کنیم که برای حلقه ی r که در شرط acc روی پوچ ساز راست صدق می کند, اگر r به طور ضعیف منظم باشد, آن گاه دومنظم است و همچنین r به طور ضعیف منظم است اگر و تنها اگر جمع مستقیم تعداد متناهی از حلقه های ساده باشد. پس از آن شرایط ماکسیمال بودن ایدال های قویاً اول را مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم که حلقه کاهش یافته r منظم است اگر و تنها اگر r به طور ضعیف ?? -منظم چپ باشد اگر و تنها اگر هر ایدال قویاً اول r ماکسیمال باشد

یک حلقه را حلقه خوش ترکیب می نامیم، اگر هر عضو آنرا بتوان به صورت مجموع یک عضو وارون پذیر و یک عضو خودتوان نوشت. طی سی سال اخیر ویژگیهای زیادی از حلقه های خوش ترکیب تعویض پذیر بیان شده است. در این پایان نامه لیست کاملی که شامل چندین هم عرضی جدید، در مورد این حلقه ها میباشد ارائه میدهیم، به این امید که در آینده درک بهتری از این کلاس جالب از حلقه ها را داشته باشیم. یکی از خصوصیات اساسی حلقه های خوش ترکیب این است که، هر تصویر همریختی از یک حلقه خوش ترکیب، خوش ترکیب است. حلقه آراسته را حلقه ای تعریف میکنیم که هر تصویر همریختی غیر بدیهی آن خوش ترکیب است. حلقه اعداد صحیح z و هر pidغیر موضعی مثالهایی از حلقه های آراسته هستند، که خوش ترکیب نمیباشند.

در سرتاسر این پایان نامه تمای حلقه ها تعویض پذیر و یکدارند و زیر حلقه ها دارای همانی یکسان با خود حلقه می باشند. هر گاه یک توسیع از حلقه های تعویض پذیر باشند، آنگاه این توسیع را توسیع مینیمال می نامیم، هر گاه بین r و s زیر حلقه دیگری از s نباشد. بوضوح در چنین شرایطی یا r در s بسته صحیح است که در این حالت توسیع را توسیع بسته صحیح مینیمال می نامیم و یا s روی r صحیح می باشد که در این حالت، توسیع را توسیع مینیمال صحیح می نامیم. هدف اساسی در این پایان نامه، بررسی توسیع های مینیمال صحیح است.

انگیزه ی اصلی برای این کار مطالعه ی مثال هایی از یک حلقه ی اول نوتری r و مرتب های ماکسیمال شامل r، بوده است. فرض می کنیم q یک حلقه ی خارج قسمتی ساده و آرتینی از r باشد؛ در جبر تعویض ناپذیر، مفهوم یک مرتب ماکسیمال در q که شامل r است تعمیمی از بستار صحیح یک دامنه ی صحیح جابه جایی در میدان خارج قسمتیش است. بنابراین در صورت جابه جایی بودن حلقه، فقط یک مرتب ماکسیمال با این شرط وجود دارد. ولی اگر r جابه جایی نباشد، ممکن است تعداد زیادی مرتب ماکسیمال روی q موجود باشد که شامل r هستند؛ پس طبیعی است که از خود بپرسیم چه تعداد از این مرتب های ماکسیمال موجود است؟ و اینکه آیا در یک روش کلی می توان همه ی آن ها را شناسایی کرد؟ برای این کار حالتی را که به طور طبیعی به وجود می آید، مورد توجه قرار داده و این مطلب را که آیا این حالت پتانسیل تعمیم به حالت های کلی تر را دارد یا خیر بررسی خواهیم کرد. فرض می کنیم c یک دامنه ی ددکیند جابه جایی، s یک c-مرتب ماکسیمال در حلقه ی آرتینی ساده ی q، k یک ایدال راست اساسی سره از s با شرط r ،sk=s حلقه ی ایدال ساز k و b کران k باشد. در این صورت مرتب های ماکسیمال در q که شامل r هستند در تناظر یک به یک با ایدال هایی از s می باشند که شامل k بوده و تحت ضرب از چپ در عناصر r بسته اند. سپس نشان می دهیم که مرتب های ماکسیمال شامل r در q، متناهی بوده و در تناظر یک به یک با ایدال های شامل b از s هستند. در این حالت ایدال وارون پذیر ویژه ای به نام x را که نقش مهمی در این مبحث ایفا می کند، معرفی کرده، نشان می دهیم که ترکیب با x روی مجموعه ی مرتب های ماکسیمال شامل r، همانند حاصل ضربی از ترانهش های مجزا عمل می کند. این مطلب ما را به دریافتن اینکه ایدال های وارون پذیر r چگونه با عمل ترکیب روی مجموعه ی مرتب های ماکسیمال عمل می کنند ؛ رهنمون می شود. در انتها توصیف کاملی از ایدال های وارون پذیر r و نحوه ی عملکرد آن ها ارائه می دهیم و به این نتیجه می رسیم که این عمل ترایایی است اگر و تنها اگر r موروثی باشد.

چکیده: r را یک حلقه ی ni می نامند، هرگاه n^* (r)=n(r). در این نگارش، یک راه ساده برای ساخت یک حلقه ی niبیان می شود که یک حلقه ی 2-primal نیست .در این نگارش ساختار حلقه های ni نسبت به ایدال های به طور قوی اول بررسی می شود و ثابت می شود که ایدال به طور قوی اول را می توان با ایدال به طور قوی مینیمال جا به جا کرد. r را یک حلقه ی pm ( به طور ضعیفpm ) نامیده می شود، هرگاه هر ایدال اول (به طور قوی اول) حلقه ی r، فقط در یک ایدال ماکسیمال حلقه یr قرار داشته باشد. در ادامه به شرایط توپولوژیکی حلقه های ni پرداخته می شود. برایr که یک حلقه ی ni است، ثابت می شود که حلقه ی r به طور ضعیف pm است، اگر و تنها اگر max(r) یک توکشیده ی sspec(r) باشد، اگر و تنها اگر sspec(r) یک فضای نرمال باشد که sspec(r) فضایی است که توسط ایدال های به طور قوی تولید شده است و max(r) یک زیرفضای sspec(r) می باشد که توسط تمام ایدال های ماکسیمال حلقه ی r تولید شده است. هم چنین با فرض ni بودن حلقه یr ثابت می شود کهr ، به طور ضعیف pm است اگر و تنها اگر r یک حلقه ی متقارن و pm باشد و در ادامه توسیع هایی از حلقه های ni بیان می شود.

دراین پایان نامه حلقه هایی رابررسی می کنیم که هرمدول راست متناهی مولدتخت روی انها تصویری است ما چنین حلقه هایی راs -حلقه راست می نامیم و بعدازان به شروط معادل باs -حلقه بودن رابررسی می کنیم وبه ارائه مثال هایی ازاین نوع حلقه هامی پردازیم.